第十一章-广义积分与含参变量的积分-复习

第十一章广义积分与含参变量的积分复习§1广义积分1.无穷积分(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意A>a,f(x)在[a,A]上可积。若存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。2§1广义积分1.无穷积分(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意A<b,f(x)在[A,b]上可积。若存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。3§1广义积分1.无穷积分(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意区间[a,b]上可积。若与同时存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。4我们得出结论:当p

1时,发散,当p>1时积分有值51.无穷积分(2)无穷积分的性质若两个无穷积分与都收敛，则无穷积分也收敛，且其中k1,k2为常数。61.无穷积分(3)无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理:无穷积分收敛的充要条件是:任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0,A’>A0,便有71.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若收敛，则称绝对收敛；若收敛，但发散，则称条件收敛。命题:若收敛,则也收敛。8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点91.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题:若收敛,则也收敛。10(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的充要条件引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则收敛的充要条件是：对一切A≥a，积分有界。11(5)无穷积分收敛的判别法定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，且当x≥X≥a时有0≤f(x)≤g(x).又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则(1)由收敛可推出也收敛；(2)由发散可推出也发散。12(5)无穷积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:设当x≥a

时，f(x)≥0，g(x)≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且则有以下结论：(1)当0≤k<+∞时,若收敛则收敛；(2)当0<k≤+∞时,若发散则发散。当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。13(5)无穷积分收敛的判别法定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，并考虑无穷积分设对一切A≥a，积分有界，即存在常数M>0使又设函数g(x)在[a,+∞)上单调且趋于零(当x→+∞时)，则上述无穷积分收敛。14(5)无穷积分收敛的判别法定理3(阿贝尔判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，并考虑无穷积分若无穷积分收敛，且函数g(x)在[a,+∞)

上单调有界，则无穷积分收敛。152.瑕积分(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为瑕点。若极限存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。162.瑕积分(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意区间[a,b-ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为瑕点。若极限存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。17182.瑕积分(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意区间[a+ε,b-ε]上可积,a与b均为f(x)的瑕点。若极限与都存在，则称瑕积分收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积分发散。192.瑕积分(2)瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分收敛的充要条件是:任给ε>0,存在δ>0,只要0<δ

1<δ,0<δ2<δ,

便有202.瑕积分(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分收敛，则称瑕积分绝对收敛；若瑕积分收敛，但瑕积分发散，则称瑕积分条件收敛。命题:若瑕积分收敛,则也收敛。212.瑕积分收敛的判别法定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b]上有定义，且a是它们的瑕点。设当x∈(a,c)

属于(a,b)时有0≤f(x)≤g(x)，则(1)由收敛可推出也收敛；(2)由发散可推出也发散。222.瑕积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b]有定义，且f(x)≥0，g(x)≥0，并有则(1)当0≤k<+∞时,若瑕积分收敛则收敛；(2)当0<k≤+∞时,若瑕积分发散则发散。当0<k<+∞时,两瑕积分同时收敛或同时发散。232.瑕积分收敛的判别法定理(狄利克莱判别法):设积分有唯一的瑕点a,

是η的有界函数，g(x)单调且当x→a时趋于零，则积分收敛。242.瑕积分收敛的判别法定理(阿贝尔判别法):设积分有唯一的瑕点a,

收敛，g(x)单调有界，则积分收敛。25§2含参变量的正常积分含参变量的积分设u=f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一个连续函数，对任意的y∈[c,d],y到积分值的对应形成了[c,d]上的一个函数。26§2含参变量的正常积分1.连续性定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则参变量积分在区间[c,d]上连续。即对任意的y0∈[c,d],

有27§2含参变量的正常积分2.可积性定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则函数在区间[c,d]上可积。且即28§2含参变量的正常积分3.可微性定理3：设二元函数f(x,y)

与fy(x,y)

都在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则函数在区间[c,d]上可微。且即29§2含参变量的正常积分4.积分上下限是参变量的函数的情况考虑参变量积分若f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续,u(y),v(y)

在[c,d]上连续,且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上连续并可积。若f(x,y)及fy(x,y)在[a,b]×[c,d]上均连续,u(y),v(y)在[c,d]上可导，且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上可导,并有30§3含参变量的广义积分1.含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛设二元函数f(x,y)在a≤x<+∞,c≤y≤d上有定义。若对任意取定的一个y,

无穷积分都收敛，则称无穷积分在[c,d]上点点收敛。31§3含参变量的广义积分(2)含参变量的无穷积分在y=y0收敛，即指存在，记为

ε-N语言：对任意ε>0,存在N(依赖ε和

y0),当A>N时，32§3含参变量的广义积分(3)含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分对于区间Y中的一切y都收敛(Y

可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若对任给ε>0，存在一个与y无关的实数N>a，使当A>N时，对一切y∈Y，都有则称含参变量的无穷积分在Y上一致收敛。33§3含参变量的广义积分(4)无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分在Y上点点收敛。若存在常数l>0,不论N多么大,总存在A>N及yA∈Y，使则无穷积分在Y上不一致收敛。34§3含参变量的广义积分(5)无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则:无穷积分在区间Y上一致收敛的充要条件是:对任给ε>0,存在与y无关的实数N，使当A>N,A’>N时，对一切y∈Y,都有35(6)无穷积分一致收敛的M判别法定理1（比较判别法）:设当

y∈Y时，对任意A>a,函数f(x,y)关于x在区间[a,A]上可积。又当x≥a时，对一切y∈Y，有且无穷积分收敛，则含参变量积分在Y上一致收敛。36(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法定理2(狄利克莱判别法)若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(y∈Y),且当x→+∞时，对

y∈Y，g(x,y)一致趋于0;(2)对任意A>a，积分存在且对y∈Y

一致有界，即存在常数M，使对任意A>a及一切

y∈Y

，都有则含参变量无穷积分在Y上一致收敛。37(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法定理3(阿贝尔判别法):若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(y∈Y),且对y∈Y

一致有界，即存在常数M，使当x∈[a,+∞)，y∈Y时，有(2)在Y上一致收敛。则含参变量无穷积分在Y上一致收敛。38(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性定理4：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,d]上连续，且积分在[c,d]上一致收敛，则(1)g(y)

在[c,d]上连续；(2)g(y)

在[c,d]上可积，且39(10)含参变量无穷积分的可微性定理5：设函数f(x,y)及

在区域[a,+∞)×[c,d]上连续，且积分在[c,d]上点点收敛。又设积分在[c,d]上一致收敛，则含参变量积分g(y)在[c,d]上可导，且40(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件定理6：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,+∞)上连续。又设两个参变量积分分别关于y及x在任意有穷区间[c,d]及[a,b]上一致收敛，并且两积分中至少有一个存在，则两积分都存在且相等，即亦即可交换积分次序。41定理6‘：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,+∞)上二元连续。又分别关于y及x在任意有穷区间[c+ε,d]及[a+ε,b]上一致收敛，且中至少有一个存在，则(11)两个累次无穷瑕积分可交换积分次序的充分条件422.含参变量的瑕积分(1)定义：设函数f(x,y)在(a,b]×Y(区间)上有定义，且在[a+ε,b]×Y上连续,这里ε是任意充分小的数。此外对任意固定的y∈Y，f(x,y)作为x的函数在x=a点附近无界，即a为瑕点。则称是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。432.含参变量的瑕积分(2)一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分在Y上点点收敛。若对任给ε>0，存在与y无关的正数δ0，使得当0<δ<δ0时，对一切y∈Y，都有则称该含参变量的瑕积分在Y上一致收敛。442.含参变量的瑕积分(3)一致收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分一致收敛的充要条件是:任给ε>0,存在与y无关的δ>0,只要0<δ

1<δ,0<δ

2<δ,对一切y∈Y，都有45(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法定理7:设函数