附录圆锥曲线的极坐标方程

附录圆锥曲线的极坐标方程空间坐标直角坐标极坐标直角坐标柱坐标球坐标(ρ,θ)(x,y)(x,y,z)平面坐标极坐标常见的坐标系(ρ,θ,z)(r,φ,θ)①极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，再选定一个长度单位和角度单位及它的这样就建立了一个极坐标系。XO1.概念叫做极轴；正方向。对于平面上任意任意一点M②极坐标的规定：用ρ表示线段OM的长度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角M用θ表示从OX到OM的角度ρ有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标极坐标系极坐标系的分类常用极坐标系：狭义极坐标系：广义极坐标系：ρ≥0

,θ∈Rρ≥0

,θ∈[0，2π)ρ

,θ∈R注①负极径的定义：先正后对称注②极坐标的多值性与单值性：即ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个ⅲ:在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外，其他点的极坐标是唯一的ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个即极坐标与直角坐标的互化①互化的三个前提条件：②互化方法：（2）数法：（1）形法：（1）极点与直角坐标系的原点重合（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合（3）两种坐标系的单位长度相同类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角图像xl特殊直线的极坐标方程方程Oθ0①直线②③和xOlxOlOlxOlx图像方程特殊圆的极坐标方程OxOxOxOxOx求极坐标方程常用的方法2.方程法：1.公式法：知型巧用公式法建系设式求系数未知型状方程法建系设需列方程②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程①直接法：一般地，与正余弦定理有关方程法公式法间接法直接法附录24圆锥曲线的极坐标方程FM(ρ,θ)x建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：注1：椭圆(双曲线)的焦参数注2：若AB为焦点弦，则即普通方程与极坐标方程的互化KABFx建立如图所示的极坐标系，由圆锥曲线的统一定义得其中l是准线，整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为：而即

一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：FAx建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：注1：椭圆(双曲线)的焦参数注2：若AB为焦点弦，则BFAx建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程注2：若AB为焦点弦，则B设,故(1)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|=过椭圆焦点F1作一直线设∠F2F1M=α（0≤α＜π）|MN|等于椭圆短轴的长？F1F2A1A2MNα法1：直角坐标系普通方程+设而不求法2：直角坐标系参数方程+设而不求交椭圆于两点M，N当α取什么值时，法3：极坐标方程练习1.圆锥曲线统一的极坐标方程则椭圆的极坐标方程为故法3：极坐标方程由题意得,离心率为,建立如图所示的极坐标系XF1F2MNα得又因.故焦点到准线距离(2)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线A.B.6C.12D.的焦点，过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=法1：直角坐标系普通方程+设而不求法2：直角坐标系参数方程+设而不求法3：极坐标方程若AB为焦点弦，则FAxB由题意得离心率e=1,焦参数=12的离心率为过右焦点F且斜率为k的直线与C相交于A，B两点，则k=A.1B.C.D.2(3)(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C：若因F1F2ABθ法1：直角坐标系普通方程+设而不求法2：直角坐标系参数方程+设而不求法3：极坐标方程析：由对称性，不妨：将右焦点看成是左焦点故(4)(2007年重庆)过双曲线为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____的右焦点F作倾斜角法1：直角坐标系普通方程+设而不求法2：直角坐标系参数方程+设而不求法3：极坐标方程FPxQ1050由题意得,离心率为,建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为焦参数为故(5)(2007年重庆简化)如图椭圆C：P1，P2，P3是椭圆上任取的三个不同点且证明：为定值的左焦点为FxFyP1P2P3证明:易得由题意得,离心率为,建立……的极坐标系,则C的极坐标方程为焦参数为设故(6)(2012年上海简化)在平面直角坐标系xoy中，已知若M、N分别是C1,C2上的动点,且OM⊥ON求证：O到直线MN的距离是定值.双曲线，椭圆析：设在Rt⊿MNO中由用面积法得：O到直线MN的距离为=常数二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：即普通方程与极坐标方程的互化练习2.以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：MNO(6)……OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.双曲线，椭圆设即,故O到直线MN的距离为易得C1、C2的极坐标方程分别为：,将其代入C1、C2的极坐标方程得整理得MNO证明：(7)(课本P：15Ex6)已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b；A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB①求证：为定值②求△AOB面积的最大和最小值.析①：由于点的极坐标直接表示了：距离和角度故涉及到长度和角度的问题采用极坐标系往往更简便析②：建立如图所示的直角坐标系，则椭圆的普通方程为BA0将其化为极坐标方程得(7)(课本P：15Ex6)已知椭圆……OA⊥OB①求证：