第四章-线性方程组

第四章线性方程组§4.3线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的结构:基础解系;通解一般线性方程组解的结构:通解带参数的线性方程组常数项为0的方程组Ax=0,称为齐次线性方程组.特别地,Ax=0称为Ax=b对应的齐次线性方程组.

一、齐次线性方程组齐次线性方程组总有解x=0.命题4.3.1Ax=0有非零解秩A<n.推论设A是方阵,则Ax=0有非零解系数行列式为0.命题4.3.2Ax=0的有限个解的线性组合仍为解.解空间:Ax=0的解集合是向量空间,称为解空间.基础解系:解空间的基底称为基础解系.

通解:设

1,…,s是Ax=0的一个基础解系,则

=k11+…+kss,其中k1,…,ks是任意常数,称为Ax=0的通解若r<n,则Ax=0有r个主变量，n－r个自由变量.不妨设前r个变量为主变量，后n－r个变量为自由变量,则可得定理4.3.1

Ax=0的解空间的维数等于n－秩A证明设秩A=r.往证解空间的维数为n－r.若r=n,则Ax=0只有零解,故其解空间的维数为0.x1=c11xr+1+c12xr+2+…+c1nxnx2=c21xr+1+c22xr+2+…+c2nxn……

……xr=cr1xr+1+cr2xr+2+…+crnxn取xr+2=1,其余自由变量都为0所得之解记为

2；取xn-r=1,其余自由变量都为0所得之解记为

n-r；c12…cr20

1…

0

2=x1=c11xr+1+c12xr+2+…+c1nxnx2=c21xr+1+c22xr+2+…+c2nxn……

……xr=cr1xr+1+cr2xr+2+…+crnxn取xr+1=1,其余自由变量都为0所得之解记为

1；c11…cr11

…

0

1=c1n

…crn0…1

n-r=,……,t1…

t1t1…

t1x1…

xr

xr+1…

xn=…==…

=

c11…cr11

…

0tn-r…tn-rtn-r…

tn-r+…+…+…++…+…

+…+c1n-r

…crn-r0…

1下面证明

1,…,n-r是一个基础解系.因参数解为写成向量形式t1…t1t1…

t1x1…

xr

xr+1…

xn=…==…

=

c11…cr11

…

0tn-r…tn-rtn-r…

tn-r+…+…+…++…+…

+…+c1n-r

…crn-r0…

1x=

1

n-rt1+…+tn-r这表明Ax=0的每个解都是

1,…,n-r的线性组合c11…cr11

…

0……………

…

c1n-r

…crn-r0…

1因为n－r行最后的n－r个行组成一个n－r解非零子式,所以它的秩数为n－r,因此,

1,…,n-r是线性无关的,于是

1,…,n-r是Ax=0的一个基础解系,故解空间的维数为n－r.推论

若秩A=r，则任何n-r个无关的解都是基础解系推论的用法：对于简单方程组，找出n-r个无关的解，即可得基础解系.例x1+x2+x3+x4＝0

x1+x2-2x3

＝0因为系数矩阵的秩数为2，故基础解系就是两个无关的解.容易看出，(1,-1,0,0)T

,(1,1,1,-3)T就是两个无关的解，故为基础解系例4.3.1求下列方程组的一个基础解系和通解1－11－12－2113－3204－43－1解把系数矩阵化成RREF矩阵1－11－10

0－1

30

0－130

0－1

31－11－10

0－130

0000

0001－10

20

01－30

0000

0001－11－12－2113－3204－43－11－10

20

01－30

0000

000相应的方程组为x1－x2+2x4=0

x3－3x4=0x1－x2+2x4=0

x3－3x4=0解出主变量x1,x2得x1=x2－2x4x3=3x4取x2=1,x4=0；再取x2=0,x4=1，得基础解系

1=1100

2=-2031通解为

=a

1+b

2，其中a,b是任意常数.命题4.3.31)Ax=b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解;2)Ax=b的两个解之差是Ax=0的解;3)设是Ax=b的一个解(称为特解),

1,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的任意解都可表示成入下形式

=k1

1+…+ks+

s,其中k1,…,ks是任意常数.(称为Ax=b的通解)二、一般线性方程组定理4.3.2对于n元线性方程组Ax＝b1)若R(A)<R(Ab)，则方程组无解;2)若R(A)=R(Ab)=n，则方程组有唯一解;3)若R(A)=R(Ab)<n，则方程组有无穷解.推论4.3.2当A是n阶矩阵时,Ax=b有唯一解

系数行列式不等于0.1121130010000011211101130010000001210011211121130010001100-12001000000121例

4.3.2.求解线性方程组解：将增广矩阵用初等行变换化成约化阶梯形,

0011211121131131131100-12001000000121001121112113113113把RREF矩阵转化成方程组x1

+x2+x5=2

x3

=0

x4+2x5

=1x1

+x2+x5=2

x3

=0

x4+2x5

=1解出x1,x3,x4,x1

=－x2－x5+2x3

=0x4=

－2x5+1取自由变量全为0，得特解20010=

1=－11000

2=－100－21通解为，

=u

1+v

2+

,其中u,v是任意常数.x1

=－x2－x5x3

=0x4=

－2x5

在导出组中取x2=1,x5=0;

再取x2=0,x5=1，得基础解系三、带参数的方程组例当a取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷解.解系数行列式为1)

当D0时,即当a≠1,－2时,方程组有唯一解.2)当D=0时,a=1或a=－2.i)当a=1时,系数矩阵和增广矩阵的秩数都为1,故方程组有无穷解.ii)当a=－2时,增广矩阵为-21111-21-211-24

-21111-21-2

0003此时,系数矩阵的秩数为2,而增广矩阵的秩数为3,故方程组无解.例4.3.3当a,b,c满足何关系时,方程组无解、有唯一解、有无穷解.解系数行列式为1)

当D0时,即当a,b,c互异时,方程组有唯一解.设D=0,则系数矩阵A的秩数≤2.化简增广矩阵B111abc1a2

b2

c211110b－ac－a1－a0b2－a2c2－a2

1－a2

1110b－ac－a1－a0b2－a2c2－a2

1－a2

1110b－ac－a1－a00

c2－a2

1－a2

－(c－a)(b+a)

－(1－a)(b+a)1110b－ac－a1－a00

c2－a2

1－a2

－(c－a)(b+a)

－(1－a)(b+a)1110b－ac－a1－a00

(c－a)(c－b)

(1－a)(1－b)1110b－ac－a1－a00

(c－a)(c－b)

(1－a)(1－b)若r(A)=1,则a=b=c,故2)当a=b=c=1时,方程组有无穷解;

当a=b=c1时,方程组无解.0001110b－ac－a1－a00

(c－a)(c－b)

(1－a)(1－b)若r(A)=2,则a,b,c恰有两个相同.若ab,则必有(c－a)(c－b)=0,故若a=b,必有c

a.此时增广矩阵为3)当ab,(c－a)(c－b)=0时,

若(1－a)(1－b)=0,则方程组有无穷解;

若(1－a)(1－b)

0,方程组无解.01110b－ac－a1－a00

(c－a)(c－b)

(1－a)(1－b)1110

0c－a1－a00

(c－a)2

(1－a)21110

0c