思想方法　第2讲　数形结合思想

思想方法第2讲数形结合思想思想概述数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.内容索引方法一方法二利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题方法三几何动态问题中的数形结合方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.例1思路分析

方程f(x)＝a的根→函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标→作出函数f(x)的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.√√√函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0<a<1，故A正确；由题意可知－log2x1＝log2x2，即log2x1x2＝0，解得x1x2＝1，故B正确；函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，所以x3＋x4＝8，又x1x2＝1，由图知1<x2<2，A.(－∞，0] B.(－∞，1]C.[－2,1] D.[－2,0]√思路分析

作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，如图所示.由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，直线l是f(x)在原点处的切线，当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意，在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].规律方法方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系.方法二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.例2思路分析

作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝

(2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是√∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，规律方法应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.方法三几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.例3

(2023·山东联考)已知椭圆C：

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为__________.思路分析

根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1|的最小值.如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立.∵F2(1,0)，E(4,3)，规律方法几