思想方法　第4讲　转化与化归思想

思想方法第4讲转化与化归思想思想概述转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.内容索引方法一方法二特殊与一般的转化命题的等价转化方法三函数、方程、不等式之间的转化方法一特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.例1思路分析

方法一

取特值求f(2)，f(3)

f(3)与f(－3)的关系→求f(－3).方法二令f(x)＝x2→求f(－3).

(1)已知函数f(x)满足对∀x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，且f(1)＝1，则f(－3)等于A.2

B.3

C.6

D.9√方法一令x＝y＝0，得f(0)＝0，令x＝y＝1，得f(2)＝4，令x＝2，y＝1，得f(3)＝9，令x＝3，y＝－3，得f(0)＝f(3)＋f(－3)－18，解得f(－3)＝9.方法二取f(x)＝x2，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy及f(1)＝1，所以f(－3)＝(－3)2＝9.批注此类题目一般都是采用方法一，赋值法求解，比较烦琐，所以可以直接取满足条件的函数求解.思路分析

假设平行四边形ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算A.20

B.15

C.36

D.6√假设平行四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，M(12,6)，N(8,8)，规律方法一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.方法二命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.例2思路分析

p为假命题→綈p为真命题→x2－a－2lnx>0恒成立→a<x2－2lnx恒成立→利用导数研究最值求解.

(1)(2023·长春统考)已知命题p：∃x∈(0,3)，x2－a－2lnx≤0.若p为假命题，则a的取值范围为__________.(－∞，1)∵p为假命题，∴綈p：∀x∈(0,3)，x2－a－2lnx>0为真命题，故a<x2－2lnx，令f(x)＝x2－2lnx，x∈(0,3)，令f′(x)>0，解得1<x<3；令f′(x)<0，解得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴a<1.思路分析

补成长方体→求补的部分的体积→正方体的体积减去补的部分的体积即可.(2)(2023·天津模拟)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积为√将几何体补全为长方体，如图所示，所以该包装盒的容积为规律方法根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见的思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0、不等式f(x)>0和f(x)<0的解集.例3

(1)已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈，总存在唯一的y∈[－1,1]，使得lnx－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数a的取值范围是√思路分析

f(x)＝lnx－x＋1＋a，x∈的值域M→g(y)＝y2ey的单调性、图象→结合g(y)的图象，找到唯一的y对应的g(y)的值的取值集合N→利用M⊆N求解.A.m>nB.m<nD.m，n的大小关系不确定√因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增.因为f(n