理论力学超典型例题

例题匀质细杆

AB

的质量是

M

,长度是

2l

,放在铅直面内,两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角

0

,初角速度等于零;试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度,以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度

1

.。例题解：

在

A

端脱离墙壁以前,受力如图所示。杆作平面运动,取坐标系

Oxyz

,则杆的运动微分方程可写成例题由几何关系知将式(4)和(5)对时间求导,得把(a)和(b)分别代入(1)和(2),再把

NA

和

NB

的值代入式(3)例题最后得杆

AB

的角加速度利用关系把上式化成积分求得杆

AB

的角速度例题当杆即将脱离墙时，NA→0。以NA

=

0代入(1)，再根据(a)得把(c)和(d)的表达式在

=

1

时的值代入上式，得关系整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度

1:长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。A

CvC

vA例题4由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落。1.求杆刚刚到达地面时的角速度由动能定理得：A

CvC

vA杆刚刚到达地面时，A点为瞬心解:例题42.求杆刚刚到达地面时的地面约束力由刚体的平面运动微分方程得将上式沿铅垂方向投影，得联立求解得ACaC

mgNaA例题4

绳子BO

剪断后,杆AB

将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA

的约束，点A

将在铅直平面内作圆周运动.在绳子BO

刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO

的拉力T和杆的重力G。用长l

的两根绳子AO

和BO把长

l

、质量是m的匀质细杆悬在点O(图a

)。当杆静止时，突然剪断绳子

BO

，试求刚剪断瞬时另一绳子AO

的拉力。解：

在引入杆的惯性力之前,须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz如图所示。GTaCxaCyεaAtxy例题

杆的惯性力合成为一个作用在质心的力RQ和一个力偶,两者都在运动平面内，RQ的两个分量大小分别是RxQ=maCx,RyQ=maCy力偶矩MCQ的大小是MCQ=JCz´ε旋向与ε相反(如图b)CGTaCxaCyεaAtxy例题由动静法写出杆的动态平衡方程,有且对于细杆,JCz´=ml2/12.（1）（2）（3）aA=aAn+aA

=aCx+aCy+aAC

+aACn利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C

作基点,则点A的加速度为例题在绳BO

刚剪断的瞬时,杆的角速度ω=0,角加速度ε≠0.因此又aAn=0,加速度各分量的方向如图(c)所示.把aA投影到点A轨迹的法线AO上,就得到aACn

=AC·ω2=0而aAC

=lε/2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件.即（4）aA=aAn+aA

=aCx+aCy+aAC

+aACn例题由动静法写出杆的动态平衡方程,有联立求解方程(1)～(4),就可求出（1）（2）（3）（4）例题图中两根匀质刚杆各长2l

，质量为m

，在B

端用铰链连接，A

端用铰链固定，而自由端C

有水平力F作用，求系统在铅直面内的平衡位置。mgmgF例题6-7

本例的系统具有两个自由度，它的位置可以用角

1和

2

(以顺时针为正)来表示。各主动力的作用点有关坐标是解：这就是约束方程。当角

1和

2

获得变分

1和

2

时，各点的有关虚位移是mgmgF例题6-7根据虚位移原理的平衡方程，有即mgmgF例题6-7因为

1

和

2是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立方程从而求得平衡时的角度

1

和

2

mgmgF例题6-7●

应用广义力定义求广义力的方法

特别指出，求广义力时并不一定要从定义即出发。在解决具体问题是时，从元功出发直接求广义力往往更为方便。注意到各广义坐标q1,q2,…,qk是彼此独立的，因此为求某个广义力Qt可以取一组特殊的虚位移，只令，而其余的，从而写成式中表示仅虚位移δqt非零时系统上主动力的虚功之和。于是，求得对应广义坐标qt的广义力