2026年（北京师范大学）高中数学必修二第10讲-点、直线的距离和对称 含解析

/点、直线的距离和对称____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握点、直线的距离问题；会求解直线对称的问题．一、距离问题1.设平面上两点，则____________________为两点间距离2．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝___________________.3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝_______________二、对称问题1.关于点对称问题（1）点关于点对称点关于点的对称点是_____________．特别地，点关于原点的对称点为___________．（2）线关于点对称已知的方程为：和点，则关于点的对称直线方程．设是对称直线上任意一点，它关于的对称点____________在直线上，代入得．此直线即为所求对称直线．2.关于线对称问题（1）点关于线对称已知点，直线，设点关于直线的对称点为，则由得到一个关于的方程，又线段的中点在直线得到另一个关于的方程，解方程组即可求出点．特别说明：①点关于轴对称的点的坐标是_______，关于轴对称点的坐标是_______②点关于直线的对称点坐标是______，关于对称点为______（2）线关于线对称已知,求直线关于直线对称直线．如右图所示，在直线上任取不同于与交点的任一点，先求出点关于直线的对称点的坐标，再由在上，用两点式求出直线的方程．常见的对称结论有：设直线．关于轴的对称的直线是：；②关于轴的对称的直线是：；③关于原点的对称的直线是：；④关于的对称的直线是：；⑤关于的对称的直线是：；类型一点到直线的距离例1：求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．练习1：求点P(－1,2)到直线2x＋y－5＝0的距离；练习2：点A(a,6)到直线3x－4y＝2距离等于4，求a的值；练习3：求过点A(－1,2)且与原点距离等于eq\f(\r(2),2)的直线方程．例2：已知在△ABC中，A(3,2)、B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，求C点坐标．练习1：求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．练习2：若动点，分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是（）A．B．C．D．类型二两条平行线之间的距离例3：求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．练习1：(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离是________．练习2：已知平行线与，则与它们等距离的直线方程是（）A．B．C．D．类型三对称问题例4：(2014·甘肃高台一中月考)点P(－1,1)关于直线ax－y＋b＝0的对称点是Q(3，－1)，则a、b的值依次是()A．－2,2 B．2，－2C.eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)练习1已知直线l：y＝3x＋3，求点P(4,5)关于直线l的对称点坐标．练习2：已知和是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．例5：在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．练习1：已知,直线（1）在上求一点，使的值最小；（2）在上求一点，使的值最小．练习2：若动点，分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是（）A．B．C．D．1．已知点，则的长及中点坐标分别是（）A．B．C．D．2．若点到直线的距离等于，则的值是（）A．B．C．或D．或3．过点且与原点的距离等于的直线方程是（）A．B．C．或D．或4．若点到点及轴的距离相等，则的坐标是（）A．B．C．或D．以上全不对5．(2014·山东东营市广饶一中高一期末测试)两平行线4x＋3y－1＝0与8x＋6y＋3＝0之间的距离是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)6.(2014·山东临沂高一期末测试)若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是()A.eq\r(10) B．2eq\r(2)C.eq\r(6) D．27.已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝08.(2014·福建安溪八中高一期末测试)两平行直线x＋3y－5＝0与x＋3y－10＝0的距离是________．9.已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋12．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)4．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．能力提升5．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A．3 B．2C．1 D．06．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)、Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0,5]C．(0,5] D．[0，eq\r(17)]7.已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．8.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．9.△ABC的三个顶点是A(－1,4)、B(－2，－1)、C(2,3)．(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S.10.已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．点、直线的距离和对称____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握点、直线的距离问题；会求解直线对称的问题．一、距离问题1.设平面上两点，则为两点间距离2．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|A3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C二、对称问题1.关于点对称问题（1）点关于点对称点关于点的对称点是．特别地，点关于原点的对称点为．（2）线关于点对称已知的方程为：和点，则关于点的对称直线方程．设是对称直线上任意一点，它关于的对称点在直线上，代入得．此直线即为所求对称直线．2.关于线对称问题（1）点关于线对称已知点，直线，设点关于直线的对称点为，则由得到一个关于的方程，又线段的中点在直线得到另一个关于的方程，解方程组即可求出点．特别说明：①点关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称点的坐标是②点关于直线的对称点坐标是，关于对称点为（2）线关于线对称已知,求直线关于直线对称直线．如右图所示，在直线上任取不同于与交点的任一点，先求出点关于直线的对称点的坐标，再由在上，用两点式求出直线的方程．常见的对称结论有：设直线．关于轴的对称的直线是：；②关于轴的对称的直线是：；③关于原点的对称的直线是：；④关于的对称的直线是：；⑤关于的对称的直线是：；类型一点到直线的距离例1：求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可．答案：(1)由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2－1|,\r(32＋－42))＝eq\f(16,5).(2)由直线y＝6与x轴平行，得d＝|6－(－2)|＝8.或将y＝6变形为0·x＋y－6＝0，∴d＝eq\f(|0×3＋－2－6|,\r(02＋12))＝8.(3)d＝|3|＝3.练习1：求点P(－1,2)到直线2x＋y－5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d＝eq\r(5).练习2：点A(a,6)到直线3x－4y＝2距离等于4，求a的值；答案：由点到直线的距离公式eq\f(|3a－4×6－2|,\r(32＋42))＝4，∴a＝2或eq\f(46,3).练习3：求过点A(－1,2)且与原点距离等于eq\f(\r(2),2)的直线方程．答案：设所求直线l：y－2＝k(x＋1)，原点O(0,0)到此直线距离为eq\f(\r(2),2)，可求得k＝－1或－7，∴所求直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.例2：已知在△ABC中，A(3,2)、B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，求C点坐标．解析：本题易求|AB|＝5，C点到AB的距离即为△ABC中AB边上的高．设C(x0，y0)，则y0＝3x0＋3，从而可建立x0的方程求解．答案：设点C(x0，y0)，∵点C在直线3x－y＋3＝0上，∴y0＝3x0＋3.∵A(3,2)、B(－1,5)，∴|AB|＝eq\r(5－22＋－1－32)＝5.设C到AB的距离为d，则eq\f(1,2)d·|AB|＝10，∴d＝4.又直线AB的方程为eq\f(y－2,5－2)＝eq\f(x－3,－1－3)，即3x＋4y－17＝0，∴d＝eq\f(|3x0＋43x0＋3－17|,\r(32＋42))＝eq\f(|15x0－5|,5)＝|3x0－1|＝4.∴3x0－1＝±4，解得x0＝－1或eq\f(5,3).当x0＝－1时，y0＝0；当x0＝eq\f(5,3)时，y0＝8.∴C点坐标为(－1,0)或(eq\f(5,3)，8)．练习1：求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，由条件得eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|5－k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝4，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.解法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．∵kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，∴所求直线方程为：x＝1或4x－y－2＝0.练习2：若动点，分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是（）A．B．C．D．答案：B类型二两条平行线之间的距离例3：求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．解析：由题目可获取以下主要信息：①直线l1与l2的方程已知；②l1与l2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d＝eq\f(|3×2＋4×1－15|,\r(32＋42))＝1.解法二：设原点到直线l1、l2的距离分别为|OF|、|OE|，则由图②可知，|OE|－|OF|即为所求．∴|OE|－|OF|＝eq\f(|－15|,\r(32＋42))－eq\f(|－10|,\r(32＋42))＝1，即两平行线间的距离为1.解法三：直线l1、l2的方程可化为3x＋4y－10＝0,3x＋4y－15＝0，则两平行线间的距离为d＝eq\f(|－10－－15|,\r(32＋42))＝eq\f(5,5)＝1.练习1：(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离是________．答案：eq\f(\r(10),20)练习2：已知平行线与，则与它们等距离的直线方程是（）A．B．C．D．答案：B类型三对称问题例4：(2014·甘肃高台一中月考)点P(－1,1)关于直线ax－y＋b＝0的对称点是Q(3，－1)，则a、b的值依次是()A．－2,2 B．2，－2C.eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)解析：设PQ的中点为M，则由中点坐标公式得M(1,0)．∵点M在直线ax－y＋b＝0上，∴a＋b＝0.又PQ所在直线与直线ax－y＋b＝0垂直，∴eq\f(－1－1,3－－1)·a＝－1，∴a＝2.故b＝－2.答案：B练习1已知直线l：y＝3x＋3，求点P(4,5)关于直线l的对称点坐标．答案：设点A(x，y)是点P关于直线l的对称点，∵A、P的中点在直线l上，∴eq\f(y＋5,2)＝3×eq\f(x＋4,2)＋3，即3x－y＋13＝0又∵AP与直线l垂直，∴eq\f(y－5,x－4)×3＝－1，即x＋3y－19＝0 ②解①、②组成的方程组可得x＝－2，y＝7，即所求点的坐标为(－2,7)．练习2：已知和是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．答案：D例5：在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．解析：设点B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足(1)；点C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点P满足(2)．事实上，对于(1)，若P′是l上异于P的点，则||P′A|－|P′B||＝||P′A|－|P′B′||<|AB′|＝||PA|－|PB′||＝||PA|－|PB||；对于(2)，若P′是l上异于P的点，则|P′A|＋|P′C|＝|P′A|＋|P′C′|>|AC′|＝|PA|＋|PC|.答案：(1)如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.又由于线段BB′的中点坐标为A(eq\f(a,2)，eq\f(b＋4,2))，且在直线l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0. ②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0,2x＋y－9＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝5)).即直线l与AB′的交点坐标为(2,5)．∴点P(2,5)为所求．(2)如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为(eq\f(3,5)，eq\f(24,5))．∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l的交点坐标为(eq\f(11,7)，eq\f(26,7))．故P点坐标为(eq\f(11,7)，eq\f(26,7))，为所求．练习1：已知,直线（1）在上求一点，使的值最小；（2）在上求一点，使的值最小．答案：（1）设点关于直线的对称点，则解得∴由两点式可得的方程为又∵点应是和的交点∴解方程组得∴所求点（2）∵∴的方程为由于直线与的交点即为所求∴解方程组得∴所求点练习2：若动点，分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是（）A．B．C．D．答案：B1．已知点，则的长及中点坐标分别是（）A．B．C．D．答案：B2．若点到直线的距离等于，则的值是（）A．B．C．或D．或答案：D3．过点且与原点的距离等于的直线方程是（）A．B．C．或D．或答案：C4．若点到点及轴的距离相等，则的坐标是（）A．B．C．或D．以上全不对答案：C5．(2014·山东东营市广饶一中高一期末测试)两平行线4x＋3y－1＝0与8x＋6y＋3＝0之间的距离是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)答案：D6.(2014·山东临沂高一期末测试)若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是()A.eq\r(10) B．2eq\r(2)C.eq\r(6) D．2答案：B7.已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝0答案：B8.(2014·福建安溪八中高一期末测试)两平行直线x＋3y－5＝0与x＋3y－10＝0的距离是________．答案：eq\f(\r(10),2)9.已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程．答案：正方形中心G(－1,0)到四边距离相等，均为eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(6,\r(10)).设与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋c1＝0，由eq\f(|－1＋c1|,\r(10))＝eq\f(6,\r(10))，∴c1＝－5(舍去)或c1＝7.故与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x－y＋c2＝0.由eq\f(|3×－1＋c2|,\r(10))＝eq\f(6,\r(10))，得c2＝9或c2＝－3.∴另两边所在直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1答案：C2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0答案：A3．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)答案：C4．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．答案：3x－y＋10＝0能力提升5．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A．3 B．2C．1 D．0答案：B6．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)、Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0,5]C．(0,5] D．[0，eq\r(17)]答案：C7.已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．答案：48.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．答案：x＋y－10＝0或x＋y＝09.△ABC的三个顶点是A(－1,4)、B(－2，－1)、C(2,3)．(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S.答案：(1)设BC边的高所在直线为l，由题意知kBC＝eq\f(3－－1,2－－2)＝1，则kl＝eq\f(－1,kBC)＝－1，又点A(－1,4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0.(2)BC所在直线方程为y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，点A(－1,4)到BC的距离d＝eq\f(|－1－4＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，又|BC|＝eq\r(－2－22＋－1－32)＝4eq\r(2)，则S△ABC＝