心理与教育统计学第3章集中量数

心理与教育统计学第3章集中量数3.1算术平均数3.2中数3.3众数3.4其他集中量数 加权平均数 几何平均数 调和平均数

(1)基础数学知识：(3)证：(2)(4)C为常数注意：证：集中趋势(centraltendency)：指数据分布中大量数据向某方向集中的程度，描述这种特点的统计量称为集中量数。离中趋势：指数据分布中数据彼此分散程度，描述这种特点的统计量称为差异量数。BACX1X23.1算术平均数算术平均数（arithmeticaverage）一般简称为平均数（average）或均数、均值（mean）。一般用Ｍ，或者用表示。算术平均数是最常用的集中量数。3.1.1平均数的计算公式（一）未分组数据计算平均数的方法(3.1)算术平均数原始分数的总和数据的数目式中：某项研究在一年级学生中抽取30名样本，测得他们的某项考试分数如下：61,81,63,58,55,78,64,72,72,64,52,65,67,72,70,58,50,80,51,79,81,77,69,86,61,89,50,54,56,65。求他们的平均能力分数。解：这是求所抽取的30个样本的算术平均数，根据公式（3.1）（二）用估计平均数计算平均数如果数据的数目以及每个观测数据值都很大时，可以利用估计平均数（anestimatedmean)简化计算。(1)设定一个估计平均数，AM。(2)从每个数据中减去AM，使数值变小，计算差值的平均数。(3)最后计算的差值平均数加上估计的平均数。用估计平均数计算平均数公式：(3.2)AM为估计平均数N为数据数目式中：原始数值原始-AM61-4811663-258-755-10781364-1727727…………650令AM为65表3-130名学生的能力分数（三）使用次数分布表计算平均数分组区间组中值Xc次数f96~97293~94390~91487~88884~851181~821778~791975~761472~731069~70766~67363~64160~611表3-2100名学生的成绩分数次数分布表计算平均数的基本公式：(3.3)Xc

为分组区间的组中值f

为各组次数分组区间组中值Xc次数ff﹒Xc96~972194.093~943282.090~914364.087~888704.084~8511935.081~82171394.078~79191501.075~76141064.072~7310730.069~707490.066~673201.063~64164.060~61161.0表3-3100名学生的成绩分数使用第33页原始数据计算：

假设各种的数据分布于组中值附近，即假设各种的平均值等于组中值，但实际情况却不一定这样。次数分布表计算平均值只是一种近似的求平均值的方法。令得代入上3.4式：i

组距AM

估计平均值令得第一种简化方法：（3.4）组距i相同（3.5）令AM=79注意：等距分组情况下，才能用这种方法表3-4100名学生的成绩分数代入3.4式：令得第二种简化方法：与组距i无关（3.6）令AM=79表3-5100名学生的成绩分数由公式可得3.1.2算术平均数的几个重要性质：（1）在一组数据中，每个变量与平均数之差（称为离均差）的总和等于0.设则所以证：（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C证：（3）在一组数据中，每一个数据都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以C证：3.1.3平均数的意义算术平均数是“真值”最佳的估计值证：设样本总体抽样统计推论（3.7）所以：当时，所以：由得代入3.7式得：3.1.4算术平均数的优缺点

算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些特点：反应灵敏、有公式严密确定、简明易懂、适合代数运算等等，因此是一个最常用的集中量。主要不足：容易受两极端数值的影响；一组数据中有模糊不清的数值时无法计算。正态分布的3σ准则3.1.5计算和应用算术平均数的原则同质性原则：算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。平均数与个体数值相结合的原则：在解释个体特征时，既要看平均数，也要结合个体的数据。平均数与标准差、方差相结合原则：描述一组数据时既要分析其集中趋势，也要分析离散程度。复习式中：3.2中数中数（median），又称为中点数，中值。是按顺序排列在一起的一组数据居于中间位置的数。中数是集中量数的一种。符号为Md或Mdn3.2.1未分组数据求中数首先将一组数据按顺序排列（1）数据个数为奇数，则中数为(N+1)/2位置的那个数。（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数。n为奇数n为偶数（3.8）求数列6,4,7,12,8的中数。解：该数列有5个数据n为奇数，

(n+1)/2=(5+1)/2=3

第3个数据为7，故Md=7.求数列2,3,5,7,8,10,15,19的中数。解：该数列有8个数据n为偶数，数列中第N/2=4位置的数为7，（N/2+1)=5位置的数为8，故Md=(7+8)/2=7.53.2.2次数分布表计算中数由次数分布表计算中位数需要用到累积次数分布表。当表中数据的累积方向不同时，计算公式也不同。表3-652名学生数学成绩次数分布表成绩频数f累积频数95－25290－25085－34880－54575－84070－113265－92160－51255－4750－2345－11合计5274.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.511109876543215/11=0.45精确组限69.5~74.49由下至上累积频数计算公式公式中:Lb为中位数所在组的精确下限

fb为中位数所在组下限以下的累积频数

n为数据总和

fMd为中位数所在组的频数

i为组距（3．9a）由上至下累积频数计算公式公式中:La为中位数所在组的精确上限

fa为中位数所在组上限以上的累积频数

n为数据总数

fMd为中位数所在组的频数

i为组距（3．9b）表3-752名学生数学成绩中位数计算表成绩频数f累积频数计算95252902508534880545758407011326592160512554750234511合计52注意3.9式只适用于连续变量员工对主管尽职情况的评定分数人数累加次数累加百分数①非常不尽职1980100②不尽职2307188.75③不置可否3104151.25④尽职4253138.75⑤非常尽职5667.5表3-880名员工对部门主管尽职程度调查结果中数？3.2.3中位数的特点及应用中位数的优点：计算简单；容易理解；不受两端极端数据的影响。中位数的缺点：反应不灵敏；受抽样影响较大；也不适合进一步代数运算。一般用于下列情况：一组数据中有极端数据时；一组数据中有个别数据不确切、不清楚时；快速估计一组数据的代表值。3.3众数众数（mode）又称为范数、密集数、通常数等。指在次数分布中出现次数最多的那个数.用符号Mo表示。3.3.1计算众数的方法1.直接观察求众数A.未分组数据中出现次数最多的数即为众数。求5，6，2，6，6，8，5，4，5的众数。B.次数分布表中，频数最多那一组数据的组中值，即为众数。C.频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。Mo正偏态分布Mo正态分布Mo负偏态分布MoMo2.使用公式求众数皮尔逊经验法平均数(M)与中数(Md)的距离是平均数（M）与众数（Mo）的距离的三分之一，即：故：MoMdMM-MdM-Mo接近正态的情况下应用（3.10）金氏插补法式中：Lb为含众数这一区间的精确下限；

fa为高于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；

fb为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数；

i为组距Lbfafb次数分布比较偏斜，或者接近正态分布的情况下应用（3.11）3.3.2众数的意义与应用优点：概念简单明了；不受极端值的影响。缺点：受分组的影响；不能灵敏地反映一组数据的变化；不能进行进一步的运算。应用：快速而粗略地寻找一组数据的代表值。一组数据出现不同质情况，用众数代表典型情况；数据分布出现极端数据；当粗略估计次数分布的形态时，可用平均数与众数之差，作为表示次数分布是否偏态的指标。3.3.3平均数、中数和众数的关系Mo正偏态分布MdMM>Md>MoMo,Md,M正态分布M=Md=MoMo负偏态分布MdMM<Md<Mo

三种量数使用条件不同，各有优缺点。有时会导致差异很大的结果。平均数:23333中数:16800众数:14400表3-9一个公司发放薪酬情况123456781440014400144001440016400168001680016800910111213141518000192001920019200240005400072000高管中层工人在美国，平均每小时的收入是每个月由劳工统计局从商业公司提供的工资单计算而得到的。该局计算付出（给非管理人员）的总工资，再除以工作的总小时数。在经济危机时期，平均每小时收入显著上升。当经济危机结束时，平均每小时的收入常常开始下降。这可能是怎么回事？复习n为奇数n为偶数中数累计次数分布表求中数复习众数直接观察；次数分布表；分布曲线；经验公式：皮尔逊经验法，金氏插补法复习平均数、中数与众数的关系。正态分布：M=Md=Mo正偏态分布：M>Md>Mo负偏态分布：M<Md<Mo3.4其他集中量数除了算术平均数、中位数和众数以外，有些情况下，必须使用其他一些集中量数。比如，加权平均数、几何平均数和调和平均数。3.4.1加权平均数假设我们班有一位同学平时成绩70分，考试成绩90，总的成绩？？加权平均数是不同权重数据的平均数。Wi为权重Xi为数值（3.12a）某市广播电视局招聘一名播音员，对A,B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表，根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2的比例计算两人的总成绩，请问谁将被录用。测试项目测试成绩候选人A候选人B面试9095综合知识测试8580wi为权重（比率、百分数）Xi为数据值。可将3.12a进行变形：（3.12b）加权平均数可以应用于根据小组平均数计算总的平均数。ni

各组的人数;

各组的平均数。（3.12c）一个班有30人随机分为5个组，各组的成绩如下：小组编号人数平均分数168525863780448758883.4.2几何平均数几何平均数（geometricmean)为N个数据联乘后的N次方根；用符号Mg表示；N为数据个数；Xi为数据值。（3.13a）基本公式为：由于所以（3.13b）对数计算公式的推导：几何平均数的应用1.直接应用基本公式计算几何平均数（1）数据的变异较大，有极端值（2）心理物理学的等距和等比量表实验例3-8有一研究者想研究介于S1与S2两感觉量之间的感觉是多少。他随机选取10名被试，让其调节一个可变的物理刺激，使产生的感觉恰介于S1和S2之间。10名被试的结果为：5.7，6.2，6.7，6.9，7.5，8.0，7.6，10.0，15.6，18.0。问这10个被试所调节的感觉量的平均值是多少？求反对数：解：2.平均增长率一组数据彼此间的变异较大，几乎按一定的比例关系变化。（1）学习方面的进步率（2）学生或人口增加率的估计（3）教育经费增加率一列数据分别为X1，X2，X3…Xn，则：按一定的比例关系变化增加率的定义：则：由于所以平均增加率：取对数(3.14a)(3.14b)有