画法几何第6章

第六章

投影变换第一节概述第二节换面法第五节综合性问题解法举例

使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影特性获得实长、

获得实形、实角、

利用积聚性投影特性获得实角；

获得两几何元素的交集。6-1概述下一节返回

投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。退出利用平行性获得实长一般位置特殊位置实长返回利用平行性获得实形特殊位置一般位置返回实形实角利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返回利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返回一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2.点的两次变换3.四个基本问题(1)把一般位置直线变为投影面平行线1.点的一次变换§6-2换面法(2)把一般位置直线变为投影面垂直线(3)把一般位置平面变为投影面垂直面(4)把一般位置平面变为投影面平行面点在V1/H体系中的投影点在V/H1体系中的投影上一节下一节返回退出1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基本概念2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面选择新投影面的原则：平行实形投影图动画平行X1轴//abc点的一次变换点在V1/H

体系中的投影不变投影新投影旧投影.新投影面不变投影面动画旧投影面点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..动画点的二次变换..动画把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动画把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投影面垂直线.动画把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动画把一般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投影面平行面

工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实

现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。

如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。§6-5综合性问题解法举例综合性问题解法举例（一）距离和角度的度量综合性问题解法举例（二）解题中的常见轨迹上一节返回退出下一页解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹——2.与定平面平行（等距）的直线的轨迹——3.与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹——4.与定直线等距的点的轨迹——5.与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹——6.与定直线距离为定长的直线的轨迹——7.过直线上一点与该直线保持固定夹角的直线轨迹——9.与定点等距的点的轨迹——

另外。题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。

因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线

垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直平分于底边等。解题时，可利用这些图形的几何性质。平面。圆柱面。其平行面。其角平分面。圆柱面。一圆柱面的切平面。圆锥面。圆球面。8.过一点与定平面保持固定夹角的直线轨迹——圆锥面。过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交综合性问题解法举例（一）解题方案一(空间分析)：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题解题方案二（空间分析）：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题试过定点A作直线与已知直线EF正交在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影过线段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7退出距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交叉直线之间的距离5.点到平面之间的距离6.直线到平面之间的距离3.两平行直线之间的距离角度的度量1.两相交直线之间的夹角2.直线与平面间的夹角3.两平面间的夹角7.平面到平面之间的距离退出1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离3.两平行直线之间的距离求两平行直线AB

和CD

之间的距离在V/H

投影体系中直接解题例8应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题应用换面法在V1/H2体系中解题4.两交叉直线之间的距离在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置例9距离5.点到平面之间的距离平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离例106.直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线..两相交直线之间的夹角实形实角直线与平面间的夹角求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定求直线AB

与平面DEF

之间的夹角θ例11例12两平面间的夹角求△ABC

与△ABD

之间的夹角例13实角在直线AB

上求一点K,距点C

为20mm综合性问题解法举例（二）符合求解条件的“轨迹”为圆球面过点A

作直线，令它与H

面夹角为45度，

并垂直于线段BC找出与点A

距离为L，与直线CD

距离为L1

的

所有点的集合符合求解条件的“轨迹”为圆锥面符合求解条件的“轨迹”为圆球面和圆柱面例14例15例16退出本章结束返回退出上一页投影图：ABC实形.更换水平投影面旋转轴的确定一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线..垂直动画直线绕正垂轴旋转解题方案一：解题思路：3.连KS

即为所求1.过点K

作平面P

平行于△CDE2.求直线AB

与平面P

的交点S例4：过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题方案二：解题思路：3.过点K

作MN

的平行线KS

即为所求1.作平面KAB2.求作平面KAB

与平面DEF

的交线MN

例4：过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交空间分析：解题思路：3.连AK

即为所求1.过点A

作直线EF的垂面AIII2.求直线EF

与垂面AIII的交点K例5：试过定点A

作直线与已知直线EF

正交空间分析：解题思路：2.两相交直线BC、AB确定的平面即为所求1.过直线AB上任一点B作平面DEF的垂线

例7：过线段AB

作一平面垂直于平面DEF空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交直线CD于点S

2.过直线AB上任一点M作平面P的垂线，求出垂足N

例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.含直线CD作平面P平行于AB4.过点S作直线ST平行于直线MN,ST即为所求

空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.将两直线之一变换为投影面垂直线

解题思路：例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定1.过点H

作平面ABCD

的垂线

2.作直线EF，求出HEF

的实形，得3.求

的余角

解题思路：例12求直线AB与平面DEF之间的夹角θ

经3次变换投影面，在V3投影面中求作角解题思路：例13求两平面之间的夹角

将两平面的交线变换为新投影面垂直线，则反映角实形例1求△ABC

和△ABD

两平面之间的夹角例2试将点D

绕所设OO

轴旋转到已知平面ABC

上例3求△ABC

的实形例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题步骤：空间分析3.连KS

即为所求1.过点K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直线AB

与平面KFG

的交点S——

在V/H

投影体系中直接解题：解题方案一例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交.解题步骤：5.连k1’s1’3.过k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’与平面Q

的交点s1’——

应用换面法在H/V1体系中解题：2.直线AB、点K随之变换6.将k1’s1’返回原体系1.将△CDE变换为新投影面的垂直面解题方案一例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交——

在V/H

投影体系中直接解题：解题方案二空间分析解题步骤：1.作△KAB2.求△KAB与△DEF的交线MN3.过点K

作直线MN的平行线KS

例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题方案二——

应用换面法在V/H1体系中解题：解题步骤：1.作△KAB2.换面法求△KAB与△DEF的交线MN3.过点K

作直线MN

的平行线KS

例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.连KA

即为所求1.过点A

作直线EF

的垂面2.求直线EF与所作垂面AIII

的交点K

..空间分析——

在V/H

投影体系中直接解题：例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.过a1’作e1’f1’的垂线,得k1’2.点A

随之变换

4.将k1’a1’返回原体系1.将直线EF

变换为新投影面的平行线——

应用换面法在H/V1体系中解题：例6矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影解题步骤：3.过a1’作m1’c1’的垂线(面),得b1’2.点A

随之变换

4.将a1’b1’返回原体系1.将直线MC

变换为新投影面的平行线5.依对边平行作

出另两条边

空间分析：例7过线段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.将b1’c1’返回原体系4.求作bc(//X1轴)2.直线AB

随之变换1.将△DEF变换为新投影面的垂直面3.过a1’b1’上任一点作d1’e1’f1’的垂线得c1’空间分析例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——

在V/H

投影体系中直接解题：解题步骤：4.求作EF

的实长2.求直线CD

与所作垂面的交点F

3.连e’f’、ef即为所求距离的投影1.过一条直线AB

上任一点E

作另一条直线CD

的垂面例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离.⊿Z——

应用换面法在H/V1体系中解题：——

应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：3.求作EF

的实长2.求两直线的公垂线EF

1.将两已知平行直线变换为投影面平行线解题步骤：2.e2f2即反映EF

的实长实长实长1.接上一步，将两已知平行直线变换为投影面垂直线例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——

应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：2.求作EF

的实长1.将两已知平行直线构成的平面经两次变换，变成投影面平行面例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：空间分析——

在V/H

投影体系中直接解题：直线AB,交CD

于点S

3.过垂足N

作直线EF

平行于面CDG

的垂线,N

为垂足2.过直线AB

上任一点M

作平1.过直线CD上任一点C

作直线CG

平行于AB,连DG交直线AB

于点T,ST即为4.过点S

作直线MN

的平行线,所求

例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：3.将s2t2返回原体系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂线空间分析——

应用换面法解题：1.将两已知直线之一CD

变换为投影面垂直线,直线

AB随之变换

距离实长例10平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离.解题步骤：3.过S

作ABCD的垂线,s1’k1’

即为所求2.点S

随之变换

1.将平面ABCD

变换为新投影面的垂直面空间分析：距离距离实长例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定垂直垂直空间分析即为所求例12求直线AB

与平面DEF

之间的夹角θ空间分析例13求△ABC

与△ABD

之间的夹角空间分