运筹应用线性规划问题的应用

一、人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?

解：设xi

表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

约束条件：s.t.x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0(50,20,50,0,20,10)例2．福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如右表：为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？

解：设xi(i=1-7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28

x2+x3+x4+x5+x6≥15

x3+x4+x5+x6+x7≥24

x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31

x7+x1+x2+x3+x4≥28

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0(12,0,11,5,0,8,0)二、生产计划的问题例3．明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如右表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？

解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5

分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和可得到xi

（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

约束条件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0(1600,0,0,0;29400)三、套裁下料问题例4．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：设计下列5种下料方案

设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5

约束条件：s.t.x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0(30,10,0,50,0)四、任务安排解设流水线Ai加工产品Bj的件数为Xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4),Minz=2•7•x11+1•7•x12+3•7•x13+…….+2•9•x34S.tx11+x21+x31=200x12+x22+x32=150x13+x23+x33=250X14+x24+x34=3002x11+x12+3x13+2x14

≤15003x21+2x22+4x23+4x24≤1800X31+2x32+x33+2x34≤2000Xij≥0

例5：有四种产品，可用三条流水线生产，每条流水线加工每件产品所需的工时和产品的需求量如下表，三条流水线的生产成本分别为每小时7、8和9元。如何安排生产，使总成本最少？B1B2B3B4可用工时数A121321500A232441800A312122000需求量200150250300五、市场销售例6：广告方式的选择：某公司的一个月的广告预算20000元，要求，一个月内至少有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不超过12000元，电台广播至少隔日有一次。问如何安排，才能取得最佳效果？广告方式每次广告费用（元）每月可用的最高次数期望的宣传效果/单位电视台A(白天，1分）5001650电视台B(晚上，30秒）10001080每日晨报（半版）1002430星期日报（半版）300440广播电台（1分）802515解：设x1,x2,x3,x4,x5分别是一个月内电视台A,电视台B，每日晨报、星期日报和广播电台宣传的次数，则所求问题：Max50x1+80x2+30x3+40x4+15x5s.t500x1+1000x2+100x3+300x4+80x5

≤20000x1+x2≥8x3+x4≥15500x1+1000x2≤12000x1≤16,x2≤10,x3≤24,x4≤4,x5≤25x1,x2,x3,x4,x5≥0六、配料问题例7．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？

解：设xij

表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。目标函数：

Maxz=50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33)约束条件：

s.t.x11≥0.5(x11+x12+x13)（原材料1不少于50%）

x12≤0.25(x11+x12+x13)（原材料2不超过25%）

x21≥0.25(x21+x22+x23)（原材料1不少于25%）

x22≤0.5(x21+x22+x23)（原材料2不超过50%）

x11+x21+x31≤100(供应量限制）

x12+x22+x32≤100(供应量限制）

x13+x23+x33≤60(供应量限制）

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

S.t0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）

x11+x21+x31≤100(供应量限制）

x12+x22+x32≤100(供应量限制）

x13+x23+x33≤60(供应量限制）

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3

(x11=100,x12=50,x13=50,其余皆为0)七、投资问题(P171)例8：某公司拥有的100万元可以有5个选择进行投资，在已知其年利润率的情况下，需要满足以下要求：（1）电力公司的投资至少要等于化学工业投资的两倍，但每种投资都不得超过投资总额的50%；（2）购买国库券至少应占整个工业投资的10%；（3）对光明化工公司的投资最多只能占化学工业投资的65%序号项目年利润率（%）1振兴电力公司6.22中南电力公司7.13光明化工公司9.84华夏化工公司7.25购买国库券4.7解：设给第i个项目投资xi万元，Maxz=0.062x1+0.071x2+0.098x3+0.072x4+0.047x5s.tx1+x2-2x3-2x4≥0x1+x2≤50x3+x4≤50-0.1x1-0.1x2-0.1x3-0.1x4+x5≥00.35x3-0.65x4≤0xi≥0

例9．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目