齐次线性方程组解的判定线性组合与线性相关1

二、齐次线性方程组定理：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解推论1：假如齐次线性方程组方程个数小于未知数个数（m<n），则它必有非零解。推论2：n个方程n个未知数齐次线性方程组有非零解充要条件是|A|=0；而它只有零解充要条件是|A|≠0.第1页§2向量与向量组线性组合一、向量及其线性运算1.定义：n个有次序数a1

a2

an所组成数组称为n维向量，这n个数称为该向量n个分量，第i个数ai称为第i个分量。如：行向量（行矩阵）列向量（列矩阵）第2页2.一些特殊向量：

（1）零向量：全部分量都为零向量；（2）单位向量组：（3）每一列都是m维列向量；而其每一行都是n维行向量。

1

n

2第3页

（3）故A可记为：3.向量线性运算：向量加法和数乘运算。矩阵加法和数乘运算。第4页

线性方程组4.线性方程组向量表示：可表示为

1

n

2β第5页二、向量线性组合1.定义：给定向量组：

1,

2,···,

s和向量β，假如存在一组数k1,k2,···,ks,使得：

β=k1

1+k2

2+···+ks

s则称β可由向量组

1,

2,···,

s

线性表示(线性表出)；又称β是向量组

1,

2,···,

s

线性组合。例：若任一n维向量：则β可由向量组

1,

2,

3线性表示为：β=2

1－

2＋

3第6页例零向量可由任一向量组线性表示：例向量组

1,

2,···,

s中任一向量

j都可由该向量组线性表示：例判断向量能否表示为向量组：线性组合，若能够，写出表示式。解：设，即：第7页所以x1=2,x2=1，即：β=2α1+α2.第8页判断向量β能否用向量组

1,

2,···,

s线性表示，等同于判断x1

1+x2

2+···+xs

s=β是否有解。线性方程组2.定理：向量β能用向量组

1,

2,···,

s线性表示充要条件是：注：(1)r(

1,

2,···,

s)=r(

1,

2,···,

s,β)=s时，表示式唯一；(2)r(

1,

2,···,

s)=r(

1,

2,···,

s,β)<s时，表示式不唯一。r(

1,

2,···,

s)=r(

1,

2,···,

s,β)第9页2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。三、向量组间线性表示1.定义：设有两向量组

A:

1,

2,···,

s；B:β1,β2,···,βt若向量组B中每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。(传递性）第10页§3向量组线性相关性一、线性相关性概念引例

齐次线性方程组Ax=O向量形式为显然，其必有零解。(零向量可由任一向量组线性表示)其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零数k1,k2,···,kn,使得：我们关心其是否有非零解？第11页1.定义：对于向量组:

1,

2,···,

s，假如存在一组不全为零数k1,k2,···,ks,使得：k1

1+k2

2+···+ks

s=O则称向量组

1,

2,···,

s

线性相关；假如当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向量组

1,

2,···,

s

线性无关。例

1=(1,1)T,

2=(2,2)T线性相关。2

1－

2=O例n维单位向量组线性无关。若则：第12页例一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；例证实：若

1,

2线性无关，则

1+

2,

1－

2也线性无关。n维向量组:

1,

2,···,

s线性相关等同于齐次线性方程组二、向量组线性相关性一些判定定理x1

1+x2

2+···+xs

s=O1.定理1：n维向量组:

1,

2,···,

s线性相关r(

1,

2,···,

s)<s注：向量组:

1,

2,···,

s线性无关r(

1,

2,···,

s)=s有非零解。第13页推论1：假如齐次线性方程组方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性相关。推论2：n个方程n个未知数齐次线性方程组有非零解充要条件是|A|=0；而它只有零解充要条件是|A|≠0.对齐次线性方程组，我们有以下结论：所以对向量，我们对应有：3.推论2：n个n维向量组:

1,

2,···,

n线性相关|

1,

2,···,

n|=0,线性无关|

1,

2,···,

n|≠0.向量维数向量个数第14页例讨论线性相关性。解：所以r(

1,

2,

3)=2<3，从而

1,

2,

3线性相关。注：也可经过计算得出结论。第15页4.定理2：假如向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。分析：k1

1+k2

2+···+kr

r=O若存在一组不全为零数k1,

k2,

···,

kr，使得：r≤s则：k1

1+k2

2+···+kr

r+0

r+1+···+

0

s=O

5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。（部分相关，则整体相关）（整体无关，则部分无关）例含有零向量向量组线性相关。或：零向量线性相关0

1+0

2+···+

0

s+1·O=O

（部分相关，则整体相关）第16页练习：判断以下向量组是否线性相关。1.α1=(1,2,3)T,α2=(0,4,5)T,α3=(0,0,6)T

2.α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3=(4,3