2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题：数列通项公式推导解题技巧

2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题：数列通项公式推导解题技巧考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。2.答题时请将题号写在答题卡相应位置上。3.选择题必须使用2B铅笔填涂，填涂要规范。4.解答题必须使用黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，S_n=3a_n-2，则数列{a_n}的通项公式a_n=？2.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=9，b_2+b_3=18，则数列{b_n}的通项公式b_n=？3.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=c_n+n(n+1)，则数列{c_n}的通项公式c_n=？4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则数列{d_n}的通项公式d_n=？5.已知数列{e_n}满足e_n+1=e_n/(e_n+1)，且e_1=2，则数列{e_n}的通项公式e_n=？二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n=。7.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+1/(b_n+1)，则数列{b_n}的通项公式b_n=。8.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n*(n+1)/n，则数列{c_n}的通项公式c_n=。9.已知数列{d_n}满足d_n=n*2^(n-1)，则该数列的前n项和S_n=。10.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+2^n，则数列{e_n}的通项公式e_n=。三、解答题：本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分10分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，S_n=n(a_n+1)。求数列{a_n}的通项公式。12.(本小题满分10分)已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=5，b_4+b_7=20。设数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列{T_n/n}的通项公式。13.(本小题满分10分)已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+n/(n+1)。求数列{c_n}的通项公式。14.(本小题满分10分)已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2^n。求数列{d_n}的通项公式。15.(本小题满分10分)已知数列{e_n}满足e_1=1，e_2=2，且对于任意n≥2，都有e_n+1=(e_n*e_{n-1}+1)/(e_n+e_{n-1})。求数列{e_n}的通项公式。试卷答案一、选择题1.A2.B3.C4.D5.E二、填空题6.2n7.n8.n!9.n(n+1)*2^n10.2^n-1三、解答题11.解：当n=1时，S_1=a_1+1=2+1=3。由S_n=n(a_n+1)得S_1=1(a_1+1)，所以3=1(2+1)，符合。当n≥2时，S_n=n(a_n+1)，S_{n-1}=(n-1)(a_{n-1}+1)。两式相减得S_n-S_{n-1}=n(a_n+1)-(n-1)(a_{n-1}+1)。即a_n=n(a_n+1)-(n-1)(a_{n-1}+1)。整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}+n-1，即(n-1)(a_n-a_{n-1})=n-1。因为n≥2，所以a_n-a_{n-1}=1。因此，数列{a_n}是公差为1的等差数列。又a_1=2，所以a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*1=n+1。故数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1。12.解：设数列{b_n}的公差为d。由b_1=5，b_4+b_7=20得5+3d+5+6d=20。解得d=1。所以b_n=b_1+(n-1)d=5+(n-1)*1=n+4。T_n=n(b_1+b_n)/2=n(5+(n+4))/2=n(n+9)/2。T_n/n=(n(n+9)/2)/n=(n+9)/2。故数列{T_n/n}的通项公式为T_n/n=(n+9)/2。13.解：当n=1时，c_1=1。当n≥2时，c_n=c_{n-1}+n-1/n。所以c_n=c_1+(2-1/2)+(3-1/3)+...+(n-1/n)。c_n=1+1-1/2+1-1/3+...+1-1/n。c_n=(1+1+...+1)-(1/2+1/3+...+1/n)（共n-1项第一个1）。c_n=(n-1)-(1/2+1/3+...+1/n)。c_n=n-1-(1/2+1/3+...+1/n)。将原递推式c_{n+1}=c_n+n/(n+1)两边同时减去c_n得c_{n+1}-c_n=n/(n+1)。c_{n+1}=c_n+n/(n+1)。令n=2,3,...,n得：c_2=c_1+2/3c_3=c_2+3/4...c_n=c_{n-1}+n/(n-1)将以上n-1个等式相加得：c_n=c_1+(2/3+3/4+...+n/(n-1))。c_n=1+(2/3+3/4+...+n/(n-1))。c_n=1+(1/1*2+1/2*3+...+1/(n-1)*n)。c_n=1+(1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n)。c_n=1+(1-1/n)。c_n=2-1/n。故数列{c_n}的通项公式为c_n=2-1/n。14.解：当n=1时，d_1=1。当n≥2时，d_n=3d_{n-1}+2^{n-1}。d_n-2^n=3(d_{n-1}-2^{n-1})。设b_n=d_n-2^n，则b_n=3b_{n-1}。数列{b_n}是首项b_1=d_1-2^1=1-2=-1，公比为3的等比数列。b_n=b_1*3^{n-1}=-1*3^{n-1}=-3^{n-1}。d_n=b_n+2^n=-3^{n-1}+2^n。故数列{d_n}的通项公式为d_n=2^n-3^{n-1}。15.解：当n=1时，e_1=1。当n=2时，e_2=2。当n≥3时，e_n+1=e_n*e_{n-1}+1/(e_n+e_{n-1})。两边同时乘以(e_n+e_{n-1})得：(e_n+e_{n-1})e_{n+1}=e_n*e_{n-1}*e_n+e_n*e_{n-1}*e_{n-1}+1。(e_n+e_{n-1})e_{n+1}=e_n^2*e_{n-1}+e_n*e_{n-1}^2+1。e_{n+1}=e_n*e_{n-1}+1/(e_n+e_{n-1})。令f(x,y)=x*y+1/(x+y)。则e_{n+1}=f(e_n,e_{n-1})。观察发现f(x,y)=f(y,x)，且f(x,1)=x+1。e_3=f(e_2,e_1)=f(2,1)=2+1=3。e_4=f(e_3,e_2)=f(3,2)=3*2+1/(3+2)=6+1/5=31/5。e_5=f(e_4,e_3)=f(31/5,3)=(31/5)*3+1/((31/5)+3)=93/5+1/(31/5+15/5)=93/5+5/46=878/230。发现直接递推较复杂，尝试找规律或构造。考虑e_{n+1}-e_n=e_n*e_{n-1}+1/(e_n+e_{n-1})-e_n。e_{n+1}-e_n=e_n*e_{n-1}-e_n+1/(e_n+e_{n-1})。e_{n+1}-e_n=e_n*(e_{n-1}-1)+1/(e_n+e_{n-1})。令x_n=e_n-e_{n-1}，则有x_{n+1}=x_n*(e_{n-1}-1)+1/(e_n+e_{n-1})。这个递推关系依然复杂。另一个思路是考虑e_n*e_{n+1}=e_n*e_{n-1}+1。e_n*e_{n+1}-e_n*e_{n-1}=1。e_n*(e_{n+1}-e_{n-1})=1。e_{n+1}-e_{n-1}=1/e_n。由于e_1=1,e_2=2,e_3=3，猜测e_n=n。验证：假设e_k=k成立，则e_{k+1}-e_{k-1}=(k+1)-(k-1)=2。需要2=1/e_k=1/k，显然k=1时成立，k>1时不成立。猜测e_n=n不成立。尝试构造新数列：令c_n=1/e_n。则e_n=1/c_n。e_{n+1}-e_{n-1}=1/c_{n+1}-1/c_{n-1}=(c_{n-1}-c_{n+1})/(c_{n-1}*c_{n+1})。1/e_n=(c_{n-1}-c_{n+1})/(c_{n-1}*c_{n+1})。1/(1/c_n)=(c_{n-1}-c_{n+1})/(c_{n-1}*c_{n+1})。c_n=(c_{n-1}-c_{n+1})/(c_{n-1}*c_{n+1})。c_{n+1}*c_n=c_{n-1}-c_n。c_{n+1}*c_n+c_n=c_{n-1}。c_n*(c_{n+1}+1)=c_{n-1}。c_{n+1}+1=c_{n-1}/c_n。c_{n+1}=c_{n-1}/c_n-1。令c_n=d_{n+1}-1，则d_n=c_n+1。d_{n+1}=c_{n-1}/c_n。d_{n+1}=(d_n-1)/((d_{n-1}-1)+1)=(d_n-1)/d_{n-1}。d_{n+1}*d_{n-1}=d_n-1。d_2=c_2+1=2+1=3。d_3=c_3+1=3+1=4。d_4=(d_3-1)/d_2=(4-1)/3=1。d_5=(d_4-1)/d_3=(1-1)/4=0。发现d_n无法继续定义。可能需要其他方法。观察原式e_{n+1}=e_n*e_{n-1}+1/(e_n+e_{n-1})。尝试直接累加或变形。e_{n+1}*(e_n+e_{n-1})=e_n*e_{n-1}*e_n+e_n*e_{n-1}*e_{n-1}+1。e_{n+1}*(e_n+e_{n-1})=e_n^2*e_{n-1}+e_n*e_{n-1}^2+1。e_{n+1}*(e_n+e_{n-1})-e_n*e_{n-1}=e_n^2*e_{n-1}+e_n*e_{n-1}^2-e_n*e_{n-1}+1。e_{n+1}*(e_n+e_{n-1})-e_n*e_{n-1}=e_n*e_{n-1}*(e_n+e_{n-1}-1)+1。e_{n+1}*(e_n+e_{n-1})-e_n*e_{n-1}=e_n*e_{n-1}*(e_n+e_{n-1}-1)+1。此方法也复杂。可能需要结合选项进行猜测验证。e_1=1,e_2=2,e_3=3。假设e_n=n。e_4=e_3*e_2+1/(e_3+e_2)=3*2+1/(3+2)=6+1/5=31/5≠4。不成立。假设e_n=n-1。e_2=2-1=1≠2。不成立。假设e_n=n+1。e_2=2+1=3≠2。不成立。假设e_n=n-1/2。e_2=2-1/2=3/2≠2。不成立。假设e_n=n/(n-1)。e_2=2/(2-1)=2。e_3=3/(3-1)=3/2≠3。不成立。假设e_n=n/(n+1)。e_2=2/(2+1)=2/3≠2。不成立。假设e_n=n-1/2^n。e_2=2-1/2^2=2-1/4=7/4≠2。不成立。假设e_n=1/(1-1/n)=n/(n-1)。e_2=2/(2-1)=2。e_3=3/(3-1)=3/2≠3。不成立。假设e_n=n-1/(n-1)。e_2=2-1/(2-1)=2-1=1≠2。不成立。假设e_n=n-1/(n+1)。e_2=2-1/(2+1)=2-1/3=5/3≠2。不成立。继续尝试构造。e_{n+1}=e_n*e_{n-1}+1/(e_n+e_{n-1})。乘以e_n*e_{n-1}得：e_n*e_{n+1}*e_{n-1}=e_n^2*e_{n-1}^2+e_{n-1}。e_n*e_{n+1}*e_{n-1}-e_n^2*e_{n-1}^2=e_{n-1}。e_n*e_{n-1}*(e_{n+1}-e_n^2*e_{n-1}/e_n)=e_{n-1}。e_{n+1}-e_n^2*e_{n-1}/e_n=1/(e_n*e_{n-1})。e_{n+1}=e_n^2*e_{n-1}/e_n+1/(e_n*e_{n-1})。e_{n+1}=e_n*e_{n-1}+1/(e_n*e_{n-1})。此式与原式相同，未简化。可能需要其他技巧。考虑f(x,y)=x*y+1/(x+y)的性质。f(x,y)=f(y,x)。f(x,1)=x+1。f(1,1)=1*1+1/(1+1)=1+1/2=3/2。f(1,2)=1*2+1/(1+2)=2+1/3=7/3。f(2,3)=2*3+1/(2+3)=6+1/5=31/5。e_3=f(e_2,e_1)=f(2,1)=3。e_4=f(e_3,e_2)=f(3,2)=31/5。e_5=f(e_4,e_3)=f(31/5,3)=(31/5)*3+1/((31/5)+3)=93/5+5/46=(93*46