2026年贵州省高中数学第9章数列综合测试

2026年贵州省高中数学第9章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项A为2^n-1，不符合求和结果；选项B为n•2^n，不符合求和性质；选项C为n(n+1)，与n^2相符；选项D为2^n+n，不符合求和结果。正确答案为C。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式c_n等于（）A.3^nB.2•3^(n-1)C.3^n-3^(n-1)D.2•3^n-1解析：当n=1时，c_1=T_1=2。当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2•3^(n-1)。验证n=1时成立，故c_n=2•3^(n-1)。选项A为3^n，不符合n=1时的情况；选项B为2•3^(n-1)，符合所有n；选项C为3^n-3^(n-1)=2•3^(n-1)，但n=1时为1≠2；选项D为2•3^n-1，不符合n=1时的情况。正确答案为B。4.在等比数列{d_n}中，已知d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^(n-1)，代入d_2=6=d_1q，d_4=54=d_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，符合条件；选项B为2√3，不符合；选项C为-3，符合条件；选项D为±3√2，不符合。正确答案为A和C。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第5项e_5等于（）A.10B.15C.20D.25解析：由数列与数列和的关系e_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，e_1=S_1=2。当n≥2时，e_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故e_n=2n。e_5=2×5=10。选项A为10，正确；选项B为15，错误；选项C为20，错误；选项D为25，错误。正确答案为A。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_n+1)（n∈N），则该数列的极限为（）A.2B.4C.1D.不存在解析：设数列极限为L，由递推关系f_n+1=√(f_n+f_n+1)，令n→∞得L=√(L+L)，解得L=2。选项A为2，正确；选项B为4，错误；选项C为1，错误；选项D为不存在，错误。正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，a_5=9，则该数列的公差d等于（）A.3B.2C.-2D.-3解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=18，a_5=9可得2×9=18，符合条件。又由a_5=a_1+4d=9，a_3=a_1+2d，a_3+a_7=2a_1+6d=18，联立解得d=3。选项A为3，正确；选项B为2，错误；选项C为-2，错误；选项D为-3，错误。正确答案为A。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=4^n-1，则该数列的第3项h_3等于（）A.12B.20C.24D.28解析：由数列与数列和的关系h_n=T_n-T_(n-1)，当n=1时，h_1=T_1=3。当n≥2时，h_n=4^n-4^(n-1)=3×4^(n-1)。验证n=1时成立，故h_n=3×4^(n-1)。h_3=3×4^2=48。选项A为12，错误；选项B为20，错误；选项C为24，错误；选项D为28，错误。正确答案为无正确选项，需修正题目。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.31B.35C.39D.45解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^(n-1)，代入i_1=1，i_4=16可得q^3=16，解得q=2。前4项和S_4=1+2+4+8=15。选项A为31，错误；选项B为35，错误；选项C为39，错误；选项D为45，错误。正确答案为无正确选项，需修正题目。10.已知数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2，则该数列的前n项和S_n等于（）A.n(n+1)(n+2)/6B.n(n+1)/4C.n(n+1)/2D.n^2(n+1)/2解析：由数列求和公式j_n=n(n+1)/2，可得S_n=1×2/2+2×3/2+…+n(n+1)/2。采用分组求和法，S_n=1/2[1^2+2^2+…+n^2+n(n+1)]=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)]=n(n+1)(n+2)/6。选项A为n(n+1)(n+2)/6，正确；选项B为n(n+1)/4，错误；选项C为n(n+1)/2，错误；选项D为n^2(n+1)/2，错误。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为45，公差为3，则首项a_1等于________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_n=45，d=3，解得n=5，代入a_1+6=18，得a_1=12。参考答案：12。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6=b_1q，b_4=54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。参考答案：±3。3.已知数列{c_n}的前n项和为2^n-1，则该数列的第3项c_3等于________。解：由数列与数列和的关系c_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，c_1=S_1=1。当n≥2时，c_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。验证n=1时成立，故c_n=2^(n-1)。c_3=2^2=4。参考答案：4。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_5=13，则该数列的通项公式a_n等于________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2，故a_n=5+2(n-1)=2n+3。参考答案：2n+3。5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)+4（n≥2），且e_1=1，则该数列的前4项和S_4等于________。解：由递推关系可得e_2=5，e_3=9，e_4=13，故S_4=1+5+9+13=28。参考答案：28。6.若数列{f_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第2项f_2等于________。解：由数列与数列和的关系f_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，f_1=S_1=2。当n≥2时，f_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故f_n=2n。f_2=4。参考答案：4。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_4=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=2，g_4=32可得32=2q^3，解得q=4。参考答案：4。8.已知数列{h_n}满足h_n=n(n+1)/2，则该数列的前3项和S_3等于________。解：由数列求和公式h_n=n(n+1)/2，可得S_3=1×2/2+2×3/2+3×4/2=1+3+6=10。参考答案：10。9.在等差数列{i_n}中，若i_3+i_7=24，i_5=8，则该数列的公差d等于________。解：由等差数列性质i_3+i_7=2i_5，代入i_3+i_7=24，i_5=8可得2×8=24，符合条件。又由i_5=i_1+4d=8，i_3=i_1+2d，i_3+i_7=2i_1+6d=24，联立解得d=2。参考答案：2。10.已知数列{j_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第4项j_4等于________。解：由数列与数列和的关系j_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，j_1=S_1=1。当n≥2时，j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。验证n=1时成立，故j_n=n。j_4=4。参考答案：4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。解：由数列求和公式a_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。该命题正确。参考答案：正确。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的公差为3。解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，代入a_1+a_5=12可得2a_3=12，解得a_3=6。但无法确定公差d，因为a_3=a_1+2d=6，有无数组解。该命题错误。参考答案：错误。3.若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+d（n≥2），且c_1=a，则该数列是等差数列。解：由递推关系可得c_2=a+d，c_3=a+2d，…，c_n=a+(n-1)d，数列{c_n}是首项为a，公差为d的等差数列。该命题正确。参考答案：正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q为±3。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^(n-1)，代入d_2=6=d_1q，d_4=54=d_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。该命题正确。参考答案：正确。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项e_3等于6。解：由数列与数列和的关系e_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，e_1=S_1=2。当n≥2时，e_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故e_n=2n。e_3=6。该命题正确。参考答案：正确。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式为a_n=3n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，不是3n。该命题错误。参考答案：错误。7.若数列{g_n}满足g_n=g_(n-1)+4（n≥2），且g_1=1，则该数列是等差数列。解：由递推关系可得g_2=5，g_3=9，g_4=13，…，g_n=1+4(n-1)=4n-3，数列{g_n}是首项为1，公差为4的等差数列。该命题正确。参考答案：正确。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=32，则该数列的公比q为4。解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^(n-1)，代入h_1=2，h_4=32可得32=2q^3，解得q=4。该命题正确。参考答案：正确。9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列的第4项i_4等于8。解：由数列求和公式i_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，i_1=S_1=1。当n≥2时，i_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。验证n=1时成立，故i_n=2^(n-1)。i_4=8。该命题正确。参考答案：正确。10.在等差数列{j_n}中，若j_3+j_7=24，j_5=8，则该数列的公差为2。解：由等差数列性质j_3+j_7=2j_5，代入j_3+j_7=24，j_5=8可得2×8=24，符合条件。又由j_5=j_1+4d=8，j_3=j_1+2d，j_3+j_7=2j_1+6d=24，联立解得d=2。该命题正确。参考答案：正确。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故a_n=2n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=243，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=3，b_4=243可得243=3q^3，解得q=3。前5项和S_5=b_1(1-q^5)/(1-q)=3(1-3^5)/(1-3)=364.5。3.若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+2（n≥2），且c_1=1，求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系可得c_2=3，c_3=5，c_4=7，故S_4=1+3+5+7=16。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+2.5(n-1)=2.5n+2.5。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求该工厂第5年的产量。解：由等差数列{a_n}，a_1=50，d=10，求a_5。a_5=a_1+4d=50+40=90台。2.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.05，求b_5。b_5=b_1q^4=100×1.05^4≈127.63万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资20万元，求该企业前5年的总投资。解：由等差数列{c_n}，a_1=100，d=20，求S_5。S_5=5/2[2a_1+(5-1)d]=5/2[200+80]=900万元。4.某种细菌每小时繁殖1倍，已知初始时刻有1个细菌，求第6小时时的细菌数量。解：由等比数列{d_n}，d_1=1，q=2，求d_6。d_6=d_1q^5=1×2^5=32个。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.B4.A,C5.A6.A7.A8.无正确选项（需修正题目）9.无正确选项（需修正题目）10.A二、填空题1.122.±33.44.2n+35.286.47.48.109.210.4三、判断题1.正确2.错误3.正确4.正确5.正确6.错误7.正确8.正确9.正确10.正确四、简答题1.a_n=2n2.S_5=364.53.S_4=164.a_n=2.5n+2.5五、应用题1.a_5=90台2.b_5≈127.63万3.S_5=900万元4.d_6=32个【解析】一、单选题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式相符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6=b_1q，b_4=54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，符合条件；选项B为2√3，不符合；选项C为-3，符合条件；选项D为±3√2，不符合。正确答案为A和C。3.由数列与数列和的关系e_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，e_1=S_1=1。当n≥2时，e_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。验证n=1时成立，故e_n=2^(n-1)。e_3=2^2=4。选项A为12，错误；选项B为20，错误；选项C为24，错误；选项D为28，错误。正确答案为无正确选项，需修正题目。4.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2，故a_n=5+2(n-1)=2n+3。选项A为2n+3，正确；选项B为2n+1，错误；选项C为3n，错误；选项D为n+4，错误。正确答案为A。5.由数列与数列和的关系f_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，f_1=S_1=2。当n≥2时，f_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故f_n=2n。f_2=4。选项A为4，正确；选项B为2，错误；选项C为6，错误；选项D为8，错误。正确答案为A。6.由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=2，g_4=32可得32=2q^3，解得q=4。选项A为4，正确；选项B为-4，错误；选项C为2，错误；选项D为8，错误。正确答案为A。7.由数列与数列和的关系h_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，h_1=S_1=1。当n≥2时，h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。验证n=1时成立，故h_n=n。h_4=4。选项A为4，正确；选项B为6，错误；选项C为8，错误；选项D为10，错误。正确答案为A。8.由等差数列性质i_3+i_7=2i_5，代入i_3+i_7=24，i_5=8可得2×8=24，符合条件。又由i_5=i_1+4d=8，i_3=i_1+2d，i_3+i_7=2i_1+6d=24，联立解得d=2。选项A为2，正确；选项B为-2，错误；选项C为4，错误；选项D为1，错误。正确答案为A。9.由等比数列通项公式j_n=j_1q^(n-1)，代入j_1=1，j_4=16可得16=1q^3，解得q=2。前4项和S_4=1+2+4+8=15。选项A为15，正确；选项B为14，错误；选项C为13，错误；选项D为12，错误。正确答案为A。10.由数列与数列和的关系j_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，j_1=S_1=1。当n≥2时，j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。验证n=1时成立，故j_n=n。j_4=4。选项A为4，正确；选项B为3，错误；选项C为5，错误；选项D为6，错误。正确答案为A。二、填空题1.由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_n=45，d=3，解得n=5，代入a_1+6=18，得a_1=12。参考答案：12。2.由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6=b_1q，b_4=54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。参考答案：±3。3.由数列与数列和的关系c_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，c_1=S_1=1。当n≥2时，c_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。验证n=1时成立，故c_n=2^(n-1)。c_3=2^2=4。参考答案：4。4.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2，故a_n=5+2(n-1)=2n+3。参考答案：2n+3。5.由递推关系可得c_2=5，c_3=9，c_4=13，故S_4=1+5+9+13=28。参考答案：28。6.由数列与数列和的关系f_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，f_1=S_1=2。当n≥2时，f_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故f_n=2n。f_2=4。参考答案：4。7.由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=2，g_4=32可得32=2q^3，解得q=4。参考答案：4。8.由数列与数列和的关系h_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，h_1=S_1=1。当n≥2时，h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。验证n=1时成立，故h_n=n。h_3=3。参考答案：3。9.由等差数列性质i_3+i_7=2i_5，代入i_3+i_7=24，i_5=8可得2×8=24，符合条件。又由i_5=i_1+4d=8，i_3=i_1+2d，i_3+i_7=2i_1+6d=24，联立解得d=2。参考答案：2。10.由等比数列通项公式j_n=j_1q^(n-1)，代入j_1=1，j_4=16可得16=1q^3，解得q=2。前4项和S_4=1+2+4+8=15。参考答案：15。三、判断题1.正确。由数列求和公式a_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。2.错误。由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，代入a_1+a_5=12可得2a_3=12，解得a_3=6。但无法确定公差d，因为a_3=a_1+2d=6，有无数组解。3.正确。由递推关系可得c_2=a+d，c_3=a+2d，…，c_n=a+(n-1)d，数列{c_n}是首项为a，公差为d的等差数列。4.正确。由等比数列通项公式d_n=d_1q^(n-1)，代入d_2=6=d_1q，d_4=54=d_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=±3。5.正确。由数列与数列和的关系e_n=S_n-S_(n-1)，当n=1时，e_1=S_1=2。当n≥2时，e_n=n^2+n-(n-1)^2+(n-1)=2n。验证n=1时成立，故e_n=2n。e_3=6。6.错误。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/