傅立叶变换补充学习fouriertransformadditional

傅立叶变换补充学习FourierTransform—AdditionalLearningMaterialsContents目录傅立叶变换的理论体系与应用全景01基本概念与发展历史02数学定义与公式推导03函数空间理论04傅立叶变换核心性质05实际应用领域06扩展概念与相关变换CHAPTER01基本概念与发展历史从傅里叶级数到傅立叶变换的理论演进SIGNALANALYSIS傅立叶变换的核心思想傅立叶变换的核心思想是将任意复杂信号分解为不同频率正弦波的叠加，实现从时域到频域的转换，这一思想彻底改变了信号分析与处理的方法论。周期函数的正弦波叠加任何周期函数都可以表示为不同频率正弦波和余弦波的叠加，这是傅立叶级数的基本结论。通过分解，复杂波形可简化为谐波组合。周期函数非周期信号的连续频率分解对于非周期信号，傅立叶变换提供了一种将信号分解为连续频率成分的方法，扩展了傅立叶级数的适用范围，使分析更加普适。非周期信号时域到频域的映射关系时域信号经过傅立叶变换后得到频域表示，变换后的取值高低反映信号中对应频率成分的强弱，揭示了信号的频率结构特征。时频转换跨学科领域的深刻应用这种时频转换思想不仅适用于信号处理，在量子力学、热传导、图像处理、通信系统等领域都有深刻应用，成为现代科学的基石。跨域应用MathematicalHeritage傅里叶与《热的解析理论》法国数学家傅里叶于1822年在《热的解析理论》中首次系统提出三角级数展开理论，这一开创性工作不仅解决了热传导方程求解问题，更为现代调和分析奠定了基础。01让-巴普蒂斯·傅里叶（Jean-BaptisteFourier，1768-1830）是法国数学家和物理学家，曾随拿破仑远征埃及1768–1830021822年发表的《热的解析理论》汇总了此前零散的三角级数方法，首次系统提出"将任意函数展开为三角级数"的理论1822年03该理论最初用于分段连续的周期函数，后来拓展为定义在实数上的函数，由此引出傅立叶变换的完整形式傅立叶变换04傅里叶的工作开创了用频率分析研究物理现象的先河，对后世数学、物理学发展产生了深远影响频率分析FourierAnalysis傅立叶变换的物理意义傅立叶变换具有鲜明的物理背景：光、电、声等波形的傅立叶变换即为其频谱，这种从时域到频域的转换揭示了信号内在的频率结构，是理解波动现象的关键工具。01给定一个随时间变化的信号，对其作傅立叶变换得到的即为该信号的频谱，变换前后分别从时间和频率两个维度描述信号时域↔频域02傅立叶变换后在某频率处的取值越高，说明原信号中含有该频率的成分越多，这为信号成分分析提供了定量依据定量分析03光学中光的傅立叶变换对应光谱分布，声学中声音的傅立叶变换对应音调组成，电磁波的傅立叶变换对应频率谱光·声·电04物理意义与实际现象的紧密联系使得傅立叶变换理论得以跨越纯数学范畴，广泛应用于物理、工程、通信等学科跨学科CHAPTER02数学定义与公式推导从傅立叶级数到连续傅立叶变换的严格数学表述DEFINITION傅立叶变换的数学定义傅立叶变换通过将函数与复指数函数的内积积分实现时频转换，其正变换与逆变换构成一对可逆的线性算子，在不同学科中定义可能相差常数因子但核心思想一致。01正变换定义对于定义在实数域上的函数f(x)，其傅立叶变换F(ξ)定义为f(x)与复指数函数e^(-2πixξ)的积分，即F(ξ)=∫f(x)e^(-2πixξ)dx积分定义02内积形式指数项e^(-2πixξ)中的2πixξ为内积形式，当x和ξ为向量时，内积定义为各分量乘积之和内积结构03逆变换与可逆性傅立叶变换是可逆的，逆变换定义为f(x)=∫F(ξ)e^(2πixξ)dξ，正变换与逆变换构成一对可逆线性算子可逆算子04领域间的定义差异不同领域定义可能相差常数因子，如积分号前添加1/√2π或指数项中使用角频率ω=2πξ，导致性质公式的常数倍数变化约定差异FourierAnalysis从傅立叶级数到傅立叶变换傅立叶变换是傅立叶级数在周期趋于无穷时的自然推广，离散频率谱过渡为连续频率谱，求和运算转化为积分运算。01周期为T的函数可展开为傅立叶级数，各谐波频率为基频1/T的整数倍，频率间隔为1/T，频谱呈离散分布1/T02当周期T趋于无穷大时，函数变为非周期函数，频率间隔1/T趋于零，离散频谱过渡为连续频谱T→∞03傅立叶级数中的求和运算在极限过程中自然转化为积分运算，级数系数转化为频谱密度函数Σ→∫04这一推广过程体现了数学理论从特殊到一般的发展规律，也为处理非周期信号提供了严格的数学工具GeneralFourierTransform·01一维傅立叶变换一维傅立叶变换是最基础也最常用的形式，它将一维时域信号转换为频率域表示，是理解多维傅立叶变换和实际应用的起点。01当函数f(x)为一元函数时，傅立叶变换简化为F(ξ)=∫f(x)e−2πixξdx，积分范围为整个实数轴时域到频域的桥梁02一维傅立叶变换广泛应用于音频信号处理、振动分析、时间序列分析等只需要单一自变量的场景音频与振动分析的核心工具03对于实值函数f(x)，其傅立叶变换F(ξ)具有共轭对称性，即F(−ξ)=F*(ξ)，负频率部分信息冗余实信号频谱的对称特性04一维核心理念可自然推广到高维，n维傅立叶变换只需将指数项中的一元乘积替换为向量内积向二维、三维的自然延伸LinearOperator傅立叶变换的线性性傅立叶变换是线性算子，满足叠加原理：多个信号线性组合的傅立叶变换等于各信号傅立叶变换的同样线性组合，这一性质保证了频域分析的简洁性和可叠加性。01傅立叶变换满足线性性质：F[af(x)+bg(x)]=aF[f(x)]+bF[g(x)]，其中a、b为任意常数02线性性意味着信号叠加时频谱也相应叠加，多个独立信号源的频率成分可以在频域中直接分离03逆变换同样具有线性性，保证了时域和频域之间的映射关系保持一致的代数结构04线性性是傅立叶变换作为线性算子的核心特征，使得可以利用线性代数、泛函分析等工具进行深入研究FourierProperty傅立叶变换的时移性质时域中的平移在频域中仅导致相位线性变化而不改变频谱幅度，即时移对应频域的相位旋转，这一性质在信号时延估计和系统分析中具有重要应用价值。时移公式f(x−x₀)的傅立叶变换为e−2πiξx₀F(ξ)，时域平移x₀在频域产生线性相位因子。e−2πiξx₀幅度不变频谱幅度|F(ξ)|在时移后保持不变，仅相位谱变化，信号延迟播放不改变频率成分构成。|F(ξ)|相位旋转频域中相位旋转量与频率ξ和时移量x₀成正比，高频成分相位变化更快，低频更慢。正比关系工程应用在雷达回波时延估计、通信系统同步、声学回声定位等精确测量时间延迟场景中有核心应用。时延估计CHAPTER03函数空间理论傅立叶变换定义域的严格数学刻画FunctionSpaces绝对可积函数空间L¹绝对可积函数空间L¹是傅立叶变换最自然的定义域，在此空间中傅立叶变换积分绝对收敛，变换后的函数连续且在无穷远处趋于零，但变换后不一定仍属于L¹空间。01L¹空间的定义：由所有满足∫|f(x)|dx<∞的可测函数组成，在此空间中傅立叶变换定义式中的积分绝对收敛02黎曼-勒贝格引理：L¹函数的傅立叶变换F(ξ)必然是连续函数，且满足lim(ξ→∞)F(ξ)=003空间不封闭：f∈L¹不能保证F(ξ)∈L¹，这给逆傅立叶变换的直接定义带来技术困难04理论发展推动：为解决逆变换问题需引入更精细的函数空间或广义函数框架，推动了调和分析理论的深入发展HILBERTSPACETHEORY平方可积函数空间L²平方可积函数空间L²是希尔伯特空间，具有内积结构，傅立叶变换在L²上是保范等距算子，满足帕塞瓦尔定理，实现了时域能量与频域能量的等价转换。希尔伯特空间结构L²空间由所有满足∫|f(x)|²dx<∞的可测函数组成，配备内积⟨f,g⟩=∫f(x)g*(x)dx构成完备的希尔伯特空间，为傅立叶分析提供严格的数学框架。帕塞瓦尔定理∫|f(x)|²dx=∫|F(ξ)|²dξ，信号在时域的总能量等于频域的总能量，体现能量守恒定律，是信号处理与量子力学的核心工具。酉算子性质傅立叶变换在L²上是酉算子（保范等距算子），保持内积不变：⟨f,g⟩=⟨F[f],F[g]⟩，这意味着变换前后向量的夹角与长度均保持不变。极限延拓定义L²函数的傅立叶变换需借助极限过程定义，通常先在L¹∩L²上定义再延拓到整个L²，利用稠密性保证变换的唯一性与连续性。SchwartzSpace施瓦茨空间（速降函数空间）施瓦茨空间由无穷可微且各阶导数均速降的函数组成，是傅立叶变换性质最优良的函数空间，傅立叶变换在此空间上是连续自同构，为广义函数傅立叶变换提供理论基础。01无穷可微与速降性S(Rⁿ)由所有无穷可微函数f组成，且f及其各阶导数在无穷远处比任何多项式的倒数衰减得都快02傅立叶自同构傅立叶变换是施瓦茨空间到自身的连续双射，正变换和逆变换均保持空间封闭性03微分与乘法对偶微分运算与乘多项式运算通过傅立叶变换互相转化，所有运算性质都严格成立04广义函数推广可自然推广到缓增广义函数空间S'，定义δ函数等广义函数的傅立叶变换TemperedDistributions缓增广义函数空间S'缓增广义函数空间S'是施瓦茨空间的共轭空间，为δ函数、常数函数、多项式等广义对象提供严格的傅立叶变换定义框架，是傅立叶变换理论最一般最完整的表述体系。01施瓦茨空间的对偶—缓增广义函数空间S'(Rⁿ)是施瓦茨空间S(Rⁿ)的连续线性泛函空间，也称为缓增分布空间或tempereddistributions。02自然延拓—傅立叶变换可自然延拓到S'上，使得δ函数、常数函数、多项式等广义对象均有严格定义的傅立叶变换。03对偶关系—δ函数的傅立叶变换为常数1，常数1的傅立叶变换为δ函数，这一对偶关系在S'框架下得到严格数学表述。04标准工具—S'框架下的傅立叶变换理论是现代调和分析、偏微分方程、量子力学等领域的标准数学工具。CHAPTER04傅立叶变换核心性质微分、卷积、缩放等关键运算性质的系统梳理FOURIERANALYSIS微分性质傅立叶变换将微分运算转化为频域中的乘法运算：对函数求导等价于其傅立叶变换乘以2πiξ，这一性质是傅立叶方法求解微分方程的理论基础。01微分性质：f'(x)的傅立叶变换为2πiξ·F(ξ)，即时域中的求导运算在频域中转化为乘以2πiξ02高阶导数对应更高次幂：f⁽ⁿ⁾(x)的傅立叶变换为(2πiξ)ⁿ·F(ξ)，n阶微分转化为n次多项式乘法03代数化简：该性质可将线性常系数微分方程转化为频域中的代数方程，大幅降低求解难度04偏微分方程求解：对空间变量做傅立叶变换可将PDE转化为ODE，是求解热方程、波动方程的标准方法FourierAnalysis卷积定理卷积定理建立了时域卷积与频域乘积的等价关系，将复杂的积分运算简化为逐点乘法，是线性系统分析、快速卷积计算和滤波器设计的理论基石。时域卷积→频域乘法(f*g)的傅立叶变换等于F(ξ)·G(ξ)，时域中的卷积运算对应频域中的逐点乘法，大幅简化计算过程。ℱ{f*g}=F·G对偶形式(f·g)的傅立叶变换等于(F*G)(ξ)，时域中的乘积对应频域中的卷积，体现时频对偶性。ℱ{f·g}=F*G线性系统分析线性时不变系统的输出等于输入信号与冲激响应的卷积，可在频域用乘法高效分析系统特性与频率响应。y(t)=x(t)*h(t)⇔Y(ω)=X(ω)·H(ω)快速卷积算法利用FFT将时域卷积转换到频域计算，复杂度从O(N²)降至O(NlogN)，广泛应用于数字信号处理与图像滤波。O(N²)→O(NlogN)viaFFTScalingProperty缩放性质缩放性质揭示时频对偶关系：信号在时域中压缩a倍，则在频域中展宽a倍且幅度变化1/|a|，这一性质是不确定性原理的数学基础。01缩放公式定义f(ax)的傅立叶变换为(1/|a|)F(ξ/a)，时域压缩a倍对应频域展宽a倍，幅度变为原来的1/|a|。1/|a|·F(ξ/a)02时域压缩（a>1）信号在时域被压缩变窄，频域中频谱展宽变平，信号包含更多高频成分，分辨率提升但持续时间缩短。a>103时域拉伸（0<a<1）信号在时域被拉伸变宽，频域中频谱压缩变窄，信号能量更集中于低频，持续时间延长但带宽收窄。0<a<104不确定性原理缩放性质是不确定性原理的直接数学基础：信号无法同时在时域和频域都任意集中，时宽带宽之积存在下界。Δt·Δξ≥CEnergyConservation帕塞瓦尔定理与能量守恒帕塞瓦尔定理表明傅立叶变换是保范等距变换，信号在时域的总能量严格等于频域的总能量，这一能量守恒定律为频域能量分析和信号处理提供了理论保障。01能量守恒：∫|f(x)|²dx=∫|F(ξ)|²dξ，信号在时域的总能量等于频域总能量，体现变换的能量守恒特性。这一等式揭示了信号在时频两域中能量分布的内在统一性，是信号处理中能量计算的理论基石。ENERGY02内积保持：更一般的形式为<f,g>=∫f(x)g*(x)dx=∫F(ξ)G*(ξ)dξ=<F,G>。该性质表明傅立叶变换保持函数内积不变，是帕塞瓦尔定理的广义推广，适用于任意两个信号的相关性分析。INNERPROD03功率谱密度：|F(ξ)|²描述信号能量在频率轴上的分布，∫(a→b)|F(ξ)|²dξ表示频率在[a,b]范围内的信号能量。功率谱密度是分析信号频域特性的核心工具，广泛应用于通信系统与噪声分析领域。PSD04信号处理：帕塞瓦尔定理保证了频域滤波操作的能量可追踪性，为滤波器设计和信号质量评估提供依据。在数字信号处理中，该定理是验证算法能量守恒特性的重要判据，确保处理过程不引入能量失真。FILTERCHAPTER05实际应用领域傅立叶变换在信号处理、通信、图像等领域的核心应用SPECTRUMANALYSIS频谱分析频谱分析是傅立叶变换最直接的应用，通过将时域信号分解为频率成分揭示信号内在结构，广泛应用于故障诊断、语音分析、振动监测等需要识别信号频率特征的场景。频谱分解将时域信号分解为不同频率成分的叠加，通过频谱图直观显示各频率成分的幅度和相位信息幅度·相位故障诊断分析振动信号的频谱异常峰值，精准定位轴承故障、齿轮磨损等缺陷类型和位置轴承·齿轮语音分析识别基频和谐波结构，是语音识别、说话人识别等技术的预处理基础基频·谐波噪声定位50Hz工频干扰等特定频率噪声可精确定位，为滤波去噪提供明确的频率靶向信息50Hz工频SIGNALPROCESSING滤波与去噪频域滤波通过选择性保留或抑制特定频率成分实现信号处理目标，结合卷积定理和FFT算法将复杂的时域卷积转化为高效的频域乘法，大幅提升计算效率。低通滤波保留低频成分去除高频噪声，适用于音频去噪（消除嘶嘶声）、信号平滑等需要保留主要趋势的场景。音频去噪带阻滤波消除特定干扰频率，如去除心电图中的50Hz/60Hz电源干扰、通信系统中的窄带干扰抑制。50/60Hz卷积加速利用卷积定理，时域卷积可在频域用乘法实现，结合FFT将复杂度从O(N²)降至O(NlogN)。O(NlogN)灵活设计频域滤波设计直观灵活，可根据需求定制任意形状的频率响应函数，实现低通、高通、带通、带阻等特性。频率响应FREQUENCYDOMAINAPPLICATION信号压缩信号压缩利用频域能量集中特性，通过保留主要频率成分、舍弃人眼/耳不敏感的高频成分实现高效数据压缩，是JPEG、MP3等多媒体标准的理论基础。频域能量集中大多数自然信号的能量集中在低频部分，高频成分能量小且人眼/耳对其不敏感，可通过舍弃高频成分实现有损压缩。低频主导JPEG图像压缩使用离散余弦变换（DCT，傅立叶变换变体）将图像块转换到频域，量化并编码主要频率系数，实现高效压缩。DCT变换MP3音频压缩通过心理声学模型确定人耳可感知频率范围，保留主要频率成分，可将数据量压缩至原始的1/10到1/12。1/12压缩率感知质量平衡频域压缩方法的核心优势在于能够根据人类感知特性进行智能取舍，在压缩率和感知质量之间取得最优平衡。感知最优CommunicationSystems通信系统傅立叶变换是现代通信系统的理论基石，从调制解调的频谱搬移到频分复用的信道划分，通信系统的核心操作均可在频域框架下得到清晰而统一的描述。01调制与解调调制过程将基带信号频谱搬移到高频载波附近，解调过程将接收信号频谱搬移回基带，整个过程可在频域框架下统一描述。频谱搬移02AM与FM调幅（AM）通过载波幅度随信号变化实现调制，调频（FM）通过载波频率随信号变化实现调制，二者频谱结构有本质区别。载波调制03频分复用频分复用（FDM）技术将总频带划分为多个子频带，每路信号占用一个子频带同时传输，Wi-Fi信道分配即采用此原理。FDM04正交频分复用OFDM利用傅立叶变换的正交性实现高密度子载波复用，是4G/5G移动通信和Wi-Fi的核心技术。OFDM·4G/5GFOURIERTRANSFORMINIMAGING图像处理二维傅立叶变换将图像从空间域转换到频率域，低频对应平滑区域、高频对应边缘细节，为图像滤波、特征提取、医学影像重建等提供频域分析工具。空间域到频域转换低频成分对应图像平滑区域，高频成分对应边缘和纹理细节，实现空间信息到频率信息的完整映射。FFT频域滤波操作低通滤波实现模糊和去噪，高通滤波增强边缘细节，带通滤波可提取特定尺度的纹理特征。低通·高通·带通CT影像重建滤波反投影算法基于傅立叶切片定理：物体某层面投影的一维变换等于该层面二维变换的一个切片。切片定理频域特征应用用于纹理分析、图像配准和运动估计，在遥感影像分析、医学影像处理等领域有广泛应用。遥感·医学FeatureExtraction信号特征提取傅立叶变换及其衍生方法为机器学习和模式识别提供关键的频域特征提取工具，从语音识别的MFCC特征到脑电信号的节律分析，频域特征是信号分类与识别的重要依据。语音识别MFCC—梅尔频率倒谱系数基于频域分析，模拟人耳对不同频率的非线性感知特性，是语音特征提取的主流方案。脑电节律分析—EEG的α、β、θ、δ波节律划分和能量分析均依赖频域方法，用于认知状态评估。心电病理识别—频域分析辅助识别心律失常、心肌缺血等病理特征的频率模式，提升ECG诊断精度。振动故障诊断—特征频率、谐波分布与频带能量是机械设备状态监测和故障诊断的核心判据。FOURIERANALYSIS不确定性原理不确定性原理揭示信号无法同时在时域和频域任意集中：时域方差与频域方差之积存在严格下界1/(4π)，这一深刻结论在量子力学中对应海森堡不确定性原理。01不确定性原理：设f(x)在时域和频域的方差分别为σ²t和σ²f，则σ²t·σ²f≥1/(4π)，等号仅对高斯函数成立。该不等式确立了时频分辨率的理论极限。σ²t·σ²f≥1/(4π)02该原理表明信号的时域宽度和频域宽度之积有下界，提高时域分辨率必然降低频域分辨率，反之亦然。这种互斥性是信号分析的固有约束。分辨率互斥·不可兼得03在量子力学中，位置波函数与动量波函数互为傅立叶变换对，不确定性原理导出海森堡测不准关系Δx·Δp≥ℏ/2。这是量子世界的基本物理定律。Δx·Δp≥ℏ/204短时傅立叶变换和小波变换等时频分析工具正是为了克服不确定性原理的限制、同时获取时频信息而发展起来的。这些技术在实际应用中寻求最优折中。时频分析·折中策略FourierAnalysis·Theorem泊松求和公式泊松求和公式建立了函数在整数点求和与其傅立叶变换在整数点求和之间的等式关系，是连接离散与连续的桥梁。公式核心等式∑(n∈ℤ)f(n)=∑(k∈ℤ)F(k)，函数在整数点上的求和等于其傅立叶变换在整数点上的求和。该等式揭示了时域离散采样与频域周期延拓之间的深刻对称性，是调和分析中的基本恒等式。香农采样定理采样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓，采样率不足时产生频谱混叠，该公式是推导定理的关键工具。为数字通信、音频编码和图像压缩提供了严格的数学基础，确保信号无损重建。数值分析误差可用于分析数值积分和级数求和的误差，导出欧拉-麦克劳林求和公式。在计算数学中用于加速级数收敛、估计截断误差，是数值算法设计的重要理论支撑。对偶桥梁揭示离散采样与连续函数之间的深刻对偶关系，是数字信号处理的数学桥梁。连接了抽象调和分析与工程应用，使连续数学工具能够有效处理离散数据问题。CHAPTER06扩展概念与相关变换离散傅立叶变换、FFT、拉普拉斯变换等扩展方法DigitalSignalProcessing离散傅立叶变换（DFT）离散傅立叶变换是连续傅立叶变换的离散化版本，将N个时域采样点转换为N个频域系数，是数字信号处理的数学基础，但需注意频谱泄漏和栅栏效应等离散化带来的特殊问题。DFT定义对N个均匀采样点x[n]，DFT定义为X[k]=∑x[n]e−2πink/N，将时域采样转换为频域系数X[k]=∑x[n]·e−2πink/N连续近似DFT可看作连续傅立叶变换的离散近似，采样间隔Δt决定可分析的最高频率（奈奎斯特频率）fN=1/(2Δt)频谱泄漏信号截断导致频谱能量"泄漏"到相邻频率，可通过加窗函数（汉明窗、汉宁窗等）缓解Hamming·HanningWindow栅栏效应DFT只能在离散频率点k/N处计算频谱，可能错过真实频谱峰值，可通过补零增加频率采样密度来改善Zero-PaddingAlgorithm快速傅立叶变换（FFT）快速傅立叶变换将DFT计算复杂度从O(N²)降至O(NlogN)，使实时频谱分析成为可能，被誉为20世纪最重要的算法之一。01直接计算N点DFT需要O(N²)次复数乘法和加法，当N较大时计算量惊人，无法满足实时处理需求O(N²)02Cooley-Tukey算法（1965年）利用DFT的对称性和周期性，采用分治策略将复杂度降至O(NlogN)196503当N=10⁶时，FFT相比直接计算减少约5万倍运算量，使实时频谱分析、在线信号处理成为可能5万×04FFT是现代通信（OFDM调制解调）、音频处理（实时频谱显示）、雷达信号处理等技术的核心计算引擎OFDMComplexAnalysis拉普拉斯变换拉普拉斯变换是傅立叶变换向复频率域的推广，核函数est中的衰减因子使其可处理更广泛的函数类，在控制系统分析和电路理论中具有不可替代的核心地位。01拉普拉斯变换定义为F(s)=∫(0到∞)f(t)e−stdt，其中s=σ+iω为复频率，当σ=0时退化为单边傅立叶变换将时域函数映射到复频域，建立积分变换的数学基础02复频率s的引入使拉普拉斯变换可处理指数增长等在傅立叶变换框架下不可积的函数，大幅扩展适用范围衰减因子e−σt保证积分收敛，突破傅立叶变换的局限性03在控制系统中，传递函数H(s)是系统冲激响应的拉普拉斯变换，极点位于左半平面则系统稳定复平面上的极点分布直接决定系统的动态响应特性04拉普拉斯变换将微分方程转化为s域的代数方程，初始条件自然包含在变换中，特别适合求解初值问题微分运算变为乘法运算，简化计算流程，提高求解效率FourierTransform·Applications跨学科应用总览傅立叶变换的影响远超数学和工程领域，在量子力学、晶体学、天文学、金融数学等基础科学和应用学科中均有深刻应用，是理解波动和周期性现象的普适性数学工具。量子力学位置波函数与