第四章线性系统的能控性和能观性

现代控制理论25．3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李氏函数。35.3.1线性定常连续系统

式中，x是n维状态矢量，A是n×n常数阵，且是非奇异的。在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程

ATP+PA=

Q

而标量函数v(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。1.渐近稳定的判别方法定理5-9

线性定常系统4

证明

充分性

如果满足上述要求的P存在，则系统在xe=0处是渐近稳定的。设P是存在的，且P是正定的，故选v(x)=xTPx。由塞尔维斯特判据知v(x)>0，则=(Ax)TPx+xTP(Ax)

=xTATPx+xTPAx=xT(ATP+PA)x=xT(

Q)x<0由定理5-4知，系统在xe=0处是渐近稳定的。5

必要性

如果系统在xe=0是渐近稳定的，则必存在矩阵P，满足矩阵方程ATP+PA=

Q。设合适的矩阵P具有下面形式那么被积函数一定是具有tkeλt形式的诸项之和，其中λ是矩阵A的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有Re(λ)<0，因此积分一定存在。若将P代入上述矩阵方程，可得61）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程ATP+PA=

Q的实对称矩阵P是唯一的。若P是正定的，系统在xe=0处是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。

3）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取Q=I，于是矩阵P可按下式确定：

ATP+PA=

I

然后检验P是不是正定的。2）如果沿任意一轨线不恒等于零，则Q可取为正半定的，结论不变。

7

解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定

ATP+PA=

I

例5-8

设系统的状态方程为试判断该系统的稳定性。

2p11=1p11

p12

p22=02p122p22=18

可知P>0，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统的李氏函数为

v(x)=xTPx=0.5(3x12+2x1x2+2x22)95.3.2线性时变连续系统

1．

渐近稳定的判别方法定理5-10

线性时变连续系统在平衡点xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)，使得并且v(x,t)=xT(t)P(t)x(t)是系统的李氏函数。10

证明

只证充分性，即如果满足上述要求的P存在，则系统在xe=0处是渐近稳定的。

设P(t)是存在的，且P(t)是正定的，即P(t)>0。故选v(x，t)=x(t)TP(t)x(t)>0，（正定的）。又11若是Q正定对称矩阵，则是负定的。由定理5-4知，系统在xe=0处是渐近稳定的。[证毕]2.判断的一般步骤1）确定系统的平衡状态。2）任选正定对称矩阵Q(t)，代入矩阵方程解出矩阵P(t)。该矩阵方程属于Riccati矩阵微分方程，其解为12

3）判断矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性。若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且v(x,t)=xT(t)P(t)x(t)同样，为计算方便，可选Q(t)=Q=I，则135.3.3

线性定常离散系统

式中，G是n×n阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点xe=0处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：

GTPG

P=

Q

并且v[x(k)]=

xT(k)Px(k)是这个系统的李雅普诺夫函数。1.渐近稳定的判别方法定理5-11

线性定常离散系统14

证明

设所选李氏函数为

v[x(k)]=xT(k)Px(k)因为P是正定的实对称矩阵，所以v[x(k)]是正定的。

v[x(k)]=v[x(k+1)]

v[x(k)]=xT(k+1)Px(k+1)

xT(k)Px(k)=[Gx(k)]TPGx(k)

xT(k)Px(k)=xT(k)[GTPG

P]x(k)=xT(k)[

Q

]x(k)由于v[x(k)]是正定的，根据渐近稳定的条件

v[x(k)]<0

Q=GTPG

P<0对于P>0，系统渐近稳定的充分条件是Q>0。15

解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定

GTPG

P=

Ip11(1

1)

=1p12(1

1

2)=0

p22(1

22)

=1

例5-9设离散系统的状态方程为

试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。16要使P为正定的实对称矩阵，则要求

1<1

2<1也就是说，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点是渐近稳定的。显然，这一结论与经典理论中采样系统稳定的充要条件是完全相同的。175.3.4线性时变离散系统

x(k+1)=G(k+1,k)x(k)

系统在平衡点xe=0处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正对称矩阵Q(k)，存在一个实对称正定矩阵P(k+1)，且满足如下矩阵方程：

GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)

P(k)=

Q(k)

并且v[x(k),k)]=

xT(k)P(k)x(k)为系统的李雅普诺夫函数。1.渐近稳定的判别方法定理5-12

线性时变离散系统18

证明只证充分性。设选取李氏函数为

v[x(k),k]=xT(k)P(k)x(k)因为P(k)是正定的实对称矩阵，v[x(k),k]是正定的。

v[x(k),k]=v[x(k+1),k+1]

v[x(k),k]

=xT(k+1)P(k+1)x(k+1)

xT(k)P(k)x(k)

=xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)x(k)

xT(k)P(k)x(k)

=xT(k)[GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)

P(k)]x(k)

=xT(k)[Q(k)]x(k)

Q(k)=

[GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)

P(k)]由渐近稳定的充分条件当P(k)>0正定时，Q(k)必须是正定的，才能使

v[x(k),k]

<0[证毕]19

2.判断的一般步骤

1）确定系统的平衡状态。

2）任选正定对称矩阵Q(k)，代入矩阵方程

GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)

P(k)

=

Q(k)解出矩阵P(k+1)。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为3）判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为v[x(k),k]=xT(k)P(k)x(k)205.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用5.5.1状态反馈的设计在控制系统的设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，除可利用状态反馈极点配置的方法外，还可以采用李氏第二法来确定系统的校正方案。设单输入、单输出线性定常系统的状态方程为

若选取二次型函数为李氏函数，即

v(x)=xTPx=(Ax+Bu)TPx+xTP(Ax+Bu)

=xTATPx+(Bu)TPx+xTPAx+xTPBu=xT(ATP+PA)x+[(Px)TBu]T+xTPBu21如果选P使ATP+PA为负定的，同时选输入量为

u=

kxTPBk>0

此时，为负定的，则系统是渐近稳定的。而输入u=

kxTPB是状态变量的线性组合，也正是前面介绍的状态反馈。22

例5-14

设系统的结构图如图所示，对应的微分方程为

显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t)，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。解：系统的状态方程为1

s2ux123取标准二次型函数作为李氏函数，即

v(x)=x12+x22=xTPxP=I除平衡点xe=0外，其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。当u=

kx2k>0r1

sux21

sx11

sux21

sx1k控制规律取自对x1的速度反馈，用速度反馈来镇定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。

245.5.3参数最优化设计

在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（IAE）指标、误差平方积分（ISE）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。设线性系统的状态方程为其中系统矩阵A(

)表示A的某些元素依赖于可调参数

。参数

的选择原则是使二次型积分指标达到最小，其中Q为正定或正半定常数矩阵。25由于矩阵A(

)所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标J中给定的Q阵，可以通过李雅普