定积分的概念及性质

定积分的概念及性质第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质

第五章2教学目的与要求：理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点：定积分的概念3一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放6曲边梯形如图所示，7曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为8大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流9解决步骤小结:1)

分割(大化小)：在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

以直代曲：(常代变)在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得103)求和(近似和)：.4)取极限.令则曲边梯形面积11元素法1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值

曲边梯形的面积f(

i).12元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积.f(

i)13元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细..分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积f(

i)Sab...S=..142.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．15解决步骤:1)分割(大化小).将它分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变).得n

个小段过的路程为163)求和(近似和).4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割(大化小),以直代曲(常代变),

求和(近似和),

取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限17二、定积分的定义1.定义18被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和19注意：20定理1定理22.可积的充分条件:21曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值3、定积分的几何意义各部分面积的代数和22几何意义：23例1利用定义计算定积分解2425[注]利用得两端分别相加,得即26例2利用定义计算定积分解2728例3.用定积分表示下列极限:解:29说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)30(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.31证明利用对数的性质得32极限运算与对数运算换序得33故34对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．1、基本内容三、定积分的性质35证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质136证性质237补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若性质3（定积分对于积分区间具有可加性）则38证性质4性质539解令于是40性质5的推论：证（1）41证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）42证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质643解44解4546例4.

试证:证:

设则在上,有即故即47证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式48使即积分中值公式的几何解释：49说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因50例5.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度51解由积分中值定理知有使52五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限533．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．54思考题1将和式极限：表示成定积分.55思考题1解答原式56思考题257思考题2解答例583.P233题34.P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即59练习题16061练习题1答案62练习题2636465练习题2答案6667观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．68观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．69观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．70观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．71观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．72观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．73观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．74观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．75观察下列演示过程，注意当分割