高考数学备考专练9小题＋1大题(立几)-节选自皖豫名校联盟检测

专练914小题＋1大题(立几)——节选自皖豫名校联盟检测一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若(z－1)·i5＝2＋i,则z＝()A.2－2i B.2＋2iC.－2－2i D.－2＋2i答案A解析∵i5＝i,∴(z－1)·i＝2＋i,∴z＝2＋ii2.已知非零向量b在向量a上的投影向量为14a,且a＝(1,3),则a·bA.2 B.1C.－12 答案B解析a·b＝a·14a＝14a2＝13.函数f(x)＝xsinx的图象在x＝π2A.y＝π2 B.y＝x－C.y＝x D.y＝2x－π答案C解析f'(x)＝sinx＋xcosx,所以f'π2＝1又fπ2所以所求的切线方程为y＝x.4.已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2－2x＝0},B＝{(x,y)|x2＋y2－4y＝0},则A∩B中元素的个数为()A.无数个 B.2C.1 D.0答案B解析集合A表示以点(1,0)为圆心,半径r1＝1的圆上的点,集合B表示以点(0,2)为圆心,半径r2＝2的圆上的点,两圆的圆心距d＝5,而r2－r1<d<r1＋r2,所以两圆相交,即A∩B中有2个元素.5.已知双曲线C:x2－y2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),C的一条渐近线与直线l:x＝1c交于点M,若△MF1F2的面积为3A.3 B.4C.4 D.2答案D解析不妨取C的渐近线y＝bx,与x＝1c联立,得点M的坐标为1S△MF1F2所以b＝3,故离心率为2.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠BAC＝5π6,边BC上一点D使得AD＝2,且∠BAD＝π6,则3b＋A.23 B.43C.83 D.8答案C解析因为∠BAC＝5π6,∠BAD＝π所以∠CAD＝2π3因为S△ABC＝S△BAD＋S△CAD,即12bcsin5π6＝12c·AD·sinπ6＋12b·AD所以3b＋c＝36·3b·c≤3故3b＋c≥83,当且仅当3b＝c＝43时,等号成立.7.如图(1),由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体被称为“牟合方盖”(如图(2)),牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为1,2,3,4,然后每个曲面染一种颜色,相邻(有公共边)的两面颜色不能相同,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为()A.24 B.48C.60 D.84答案D解析如图,1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色,有4种不同的涂法.1234①当2号、3号小方格涂不同颜色的染料时,有3×2＝6种不同的涂法,4号小方格有2种不同的涂法,故由分步乘法计数原理,可知有4×6×2＝48种不同的涂法.②当2号、3号小方格涂相同颜色的染料时,有3种不同的涂法,4号小方格也有3种不同的涂法,故由分步乘法计数原理,可知有4×3×3＝36种不同的涂法.综上,由分类加法计数原理,可得共有48＋36＝84种不同的涂法.8.若不等式(x2－m)(lnx－n)≥0对任意正整数x恒成立,则nmA.12e B.C.2e4答案A解析当m≤0时,x2－m>0,由(x2－m)(lnx－n)≥0可得lnx－n≥0恒成立,因为y＝lnx的值域为R,故lnx－n≥0不可能恒成立,不符合题意.当m>0时,由x2－m≥0得x≥m,由x2－m<0得0<x<m,由lnx－n≥0得x≥en,因为(x2－m)(lnx－n)≥0,故m＝en,即lnm＝2n,所以nm令f(x)＝lnx2x,则f'(x当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)的最大值为f(e)＝12e二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0分)9.2025年1月20日,DeepSeek发布并开源DeepSeek－R1模型,这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破,对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模(单位:十亿美元)的数据:年份年份代号x市场规模y201516.4201629.52017313.82018420.120195292020640.720217582022880.420239110202410150设z＝lny,z与x的关系可以用线性回归模型z＝0.35x＋1.57进行拟合,e0.35≈1.42,e1.57≈4.8,则()A.人工智能的市场规模与年份正相关B.人工智能的市场规模的90%分位数为110C.y关于x的回归方程为y＝e0.35x＋4.8D.人工智能的市场规模的年增长率约为42%答案AD解析对于A,人工智能的市场规模随年份增大而增大,故是正相关关系,故A正确;对于B,90%分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数,即110＋1502＝130,故B错误对于C,因为z＝lny,即lny＝0.35x＋1.57,y＝e0.35x＋1.57≈4.8e0.35x,故C错误;对于D,设x2＝x1＋1,则y2＝e0.35x2故y的年增长率约为42%,故D正确.10.已知{an},{bn}均为等差数列,设Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,若(2n＋2)Sn＝nTn,则()A.4a1＝b1B.aC.T11＝143a1＋S11D.数列a12(b答案ACD解析当n＝1时,4a1＝b1,设{an}的首项为a,公差为d1,{bn}的首项为4a,公差为d2,因为(2n＋2)Sn＝nTn,所以(2n＋2)na＝n4na即2(n＋1)a＋(n2－1)d1＝4na＋n(n−1)化简得2d1n＋2d1＝d2n＋4a,则d1＝2a,d2＝4a.故an＝a＋(n－1)×2a＝(2n－1)a,bn＝4a＋(n－1)×4a＝4na,Sn＝na＋n(n−1)2×2a＝Tn＝4na＋2n(n－1)a＝(2n2＋2n)a.对于A,由上面的分析可知A正确;对于B,a11b11＝21对于C,因为T11＝2a×112＋22a＝264a,143a1＋S11＝143a＋121a＝264a,所以T11＝143a1＋S11,故C正确;对于D,a1故a12(bn＋2a1)an11.已知椭圆C:x28＋y2b2＝1(0<b<22)的离心率为63,将C绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转45°,得到椭圆C1,C2,设CA.Γ有四条对称轴B.Γ上任意两点间距离的最大值为42C.Γ的周长L>82D.Γ围成图形的面积S>8π答案ACD解析由题意知8−b解得b2＝83由y则C与直线y＝x的交点为(2,2),(－2,－2),所以直线y＝x被C截得的弦长为4.结合对称性,可作出C1,C2以及Γ如图所示,其中A(0,2),B(2,0),C(－2,0),D(0,－2),E(2,2),F(－2,－2),G(－2,2),H(2,－2).对于A,Γ有四条对称轴,分别为直线x＝0,y＝0,y＝x,y＝－x,故A正确;对于B,由图可知,Γ上任意两点间距离的最大值为|AD|＝|BC|＝4,故B错误;对于C,正方形ABDC的周长为22×4＝82,所以Γ的周长L>82,故C正确;对于D,C的短半轴长为83,可知以原点为圆心,半径为83的圆为曲线Γ的内切圆,其面积为8π3,所以S>8π3,三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知函数f(x)＝sin2ωx＋π3(ω>0)在区间0,π6内恰有3个零点答案[8,11)解析当x∈0,π6时,2ωx＋π则3π≤ωπ3＋π3<4π,13.已知f(x)是定义在R上的增函数,且图象关于点(2,1)对称,若关于x的不等式f(|x＋a|)＋f(|x－a|)<2有解,则实数a的取值范围为.

答案(－2,2)解析由题意,f(4－x)＋f(x)＝2,所以f(|x＋a|)<2－f(|x－a|)＝f(4－|x－a|),因为f(x)单调递增,所以|x＋a|<4－|x－a|,即|x＋a|＋|x－a|<4有解,因为|x＋a|＋|x－a|≥2|a|,所以2|a|<4,得－2<a<2.14.已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面ABCD的边长为2,现有一个半球,球心O为正方形A1B1C1D1的中心,且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球O相切,则该半球的表面积为.

答案(18＋122)π解析由题意可知A1B1C1D1为下底面,如图,记上底面ABCD的中心为O1,过C作CH⊥平面A1B1C1D1,垂足为H,易知点H在A1C1上.记半球与CC1,B1C1分别相切于点F,G,由正四棱台和球的对称性可知,G为B1C1的中点.因为AB＝2,所以AC＝22,CO1＝CF＝2.记半球的半径为R,则C1F＝C1G＝OG＝R,所以CC1＝R＋2,HC1＝OC1－OH＝2R－2,OO1＝CH＝R,所以在Rt△CHC1中,(R＋2)2－(2R－2)2＝R2,解得R＝2＋2,所以半球的表面积为12×4πR2＋πR2＝3πR2＝(18＋122四、解答题(本题共13分.考查方向:立几)15.如图,直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的顶点都在球O的球面上,A1C是球O的直径,且A1C＝22,A1A＝2,AB＝AD＝3.(1)证明:平面A1BD⊥平面A1AC;(2)求平面A1BC与平面A1DC夹角的余弦值.(1)证明A1C为球O的直径,AC是A1C在平面ABCD内的射影,则AC为四边形ABCD外接圆的直径,所以∠ABC＝∠ADC＝90°,因为AB＝AD＝3,AC＝AC,所以△ABC≌△ADC,所以BD⊥AC.又A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又因为A1A∩AC＝A,所以BD⊥平面A1AC,因为BD⊂平面A1BD,故平面A1BD⊥平面A1AC.(2)解如图所示,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.由已知可得BC＝DC＝1