高考数学备考专练8小题＋1大题(数列)-节选自华大新高考联盟测评

专练814小题＋1大题(数列)——节选自华大新高考联盟测评一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{－3,－2,0,2},B＝{x|－1<x<4},则A∩B的子集个数为()A.2 B.4C.8 D.16答案B解析由已知A＝{－3,－2,0,2},B＝{x|－1<x<4},则A∩B＝{0,2},则A∩B子集的个数为4个.2.(1－5i)(4＋3i)在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析(1－5i)(4＋3i)＝4＋3i－20i＋15＝19－17i,其在复平面内所对应的点的坐标为(19,－17),位于第四象限.3.已知某机械在生产正常的情况下,生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件,则这2件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为()(运算结果保留小数点后两位)参考数据:若X服从正态分布(μ,σ2),则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6827,P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545,P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973.A.0.57 B.0.75C.0.80 D.0.84答案C解析P(96<X<112)＝P(μ－σ<X<μ＋3σ)＝0.84,P(92<X<108)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545,故所求概率P＝0.84×0.9545＝0.80178≈0.80.4.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中acosB＋bcosA＝3ctanC,若c＝10,则△ABC外接圆的面积为()A.16π B.25πC.36π D.49π答案B解析由正弦定理得,sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC＝3sinCtanC,解得tanC＝13故sinC＝1010,则R＝102故所求外接圆的面积为25π,故选B.5.如图,已知在四面体ABCD中,△BCD为等边三角形,AB＝3,△BCD的面积为3,点A在平面BCD上的投影为点B,点M,N分别为AC,CD的中点,则()A.MN与BD相交 B.MN与AD异面C.BM⊥AN D.DM⊥BN答案C解析AB选项,连接MN,则MN∥AD,MN⊄平面ABD,AD⊂平面ABD,所以MN∥平面ABD,由于AD与BD相交,故MN与BD异面,故AB错误;C选项,△BCD的面积为3,△BCD为等边三角形,设△BCD的边长为a,则12a2sin60°＝3解得a＝2,因为N为CD的中点,所以BN⊥CD,又A在平面BCD上的投影为点B,故AB⊥平面BCD,以B为坐标原点,BN所在直线为x轴,平行CD的直线为y轴,BA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,又AB＝3,故B(0,0,0),M32,−12,32,A(0,0,3),则BM＝AN＝(3,0,0)－(0,0,3)＝(3,0,－3),BM·AN＝32,−12,3＝32＋0－32所以BM⊥AN,C正确;D选项,D(3,1,0),DM＝32,−12,BN＝(3,0,0),故|cos<DM,BN>|＝|＝−＝32故DM,BN所成角的余弦值为55,故D错误6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十进一就是十进制,满八进一就是八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以相互转换,如十进制下,159＝2×82＋3×8＋7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位为()A.3 B.4C.5 D.7答案D解析719＝(8－1)19＝819－C191×818＋C192×817－C193×816＋C194×8而C1918×8－1＝151＝2×82＋2×故最后一位数为7,故选D.7.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为4,侧棱长为2,点M在平面B1BCC1内(不含三棱柱的顶点),若MA1⊥MB,则CM的最小值为()A.3－2 B.23C.2 D.10答案D解析由题意知,点M是在以线段A1B为直径的球与平面B1BCC1形成的交线上,如图,取A1B的中点D,B1C1的中点P,设BP的中点为E,连接DE,则DE∥A1P,DE＝12A1P过点E作EN⊥BC,垂足为N,由于A1P⊥B1C1,又根据正三棱柱可知BB1⊥A1P,B1C1∩BB1＝B1,B1C1,BB1⊂平面B1BCC1,所以A1P⊥平面B1BCC1,则DE⊥平面B1BCC1,则DE＝12A1P＝12×3而A1B＝42＋2EN＝12BB1＝1,BN＝1,CN＝3CE＝32故点M在以E为圆心,r＝A1B故CM的最小值为CE－2＝10－8.已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,若△PF1F2的内心为Q(xQ,a),且PQ＋3A.y＝±x B.y＝±2xC.y＝±3x D.y＝±2x答案B解析设P(xP,yP),依题意可设PQ＋3OQ＝λF1所以a－yP＋3a＝0,则yP＝4a,故S△PF1F2＝12(|PF1|＋|PF2|＋2c)a化简得|PF1|＋|PF2|＝6c,又|PF1|－|PF2|＝2a,所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,因为F1(－c,0),点P在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,所以P在双曲线的右支上,所以|PF1|＝(＝(xP＋c)则3c＋a＝ca·xP＋a,解得xP＝3a所以P的坐标为(3a,4a),代入双曲线方程中,得(3a)解得ba故所求渐近线的方程为y＝±2x.二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0分)9.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示,其中Aπ6,0,BA.f(x)的最小正周期为πB.f(0)≠f11πC.f(x)在π,D.f(x)在[0,3π]上有6个零点答案AD解析依题意得,T2＝2π3－π6＝π由图可知对称轴为x＝π6＋2π32＝5π又T＝π,则f5π6＝f11π6,故f(0)＝f11π6,故延长f(x)的图象如图所示,观察可知,f(x)在π,3π2上先减后增,故f(x)在[0,3π]上有6个零点,故D正确.10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),若函数g(x)＝|f(x＋2)－3|为偶函数,则下列说法一定正确的是()A.y＝|f(x)|的图象关于直线x＝2对称B.g(0)＝0C.ab<0D.f(0)＋f(4)＝6答案BCD解析A选项,令f(x)＝(x－2)3＋3,则g(x)＝|f(x＋2)－3|＝|x3|,满足g(x)为偶函数,但y＝|f(x)|的图象如图所示,不关于直线x＝2对称,A错误;BD选项,g(x)＝|f(x＋2)－3|为偶函数,故q(x)＝f(x＋2)－3为奇函数,即q(－x)＝－q(x),即f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3,故f(－x＋2)＋f(x＋2)＝6,故点(2,3)为曲线y＝f(x)的对称中心,故f(2)＝3,则g(0)＝|f(2)－3|＝0,f(0)＋f(4)＝2f(2)＝6,故B,D正确;C选项,由题意得f'(x)＝3ax2＋2bx＋c,令h(x)＝f'(x),则h'(x)＝6ax＋2b,由于曲线y＝f(x)的对称中心为(2,3),结合三次函数的图象特征可知,h'(2)＝12a＋2b＝0,则b＝－6a,又a≠0,故ab<0,故C正确.11.19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中,用标准差表达并论证了一个不等式,该不等式被称为切比雪夫不等式,它可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对事件|X－μ|<ε做出估计.切比雪夫不等式定义为:若随机变量X具有数学期望E(X)＝μ,方差D(X)＝σ2,则对任意正数ε,不等式P(|X－μ|<ε)≥1－σ2ε2成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验,作物类别数量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的试种可知,该新型作物的高度受到环境,肥料等一系列因素的影响,每株作物成长到达标高度的概率为0.6,则下列说法正确的是()A.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25B.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5C.为了保证下一次种植实验中至少有90%的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9,则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株D.经过几次实验之后,作物最终存活的频率为0.8,若种植20000株此类作物,则作物存活16000株的概率最大答案ACD解析所有作物的高度的平均值为1100×(50×30＋50×20)＝25,故A正确所有作物的高度的方差为1100×{50×[256＋(30－25)2]＋50×[361＋(20－25)2]}＝333.5,故B错误设作物高度达到预定达标高度的数量为X,依题意知X~B(n,0.6),则E(X)＝0.6n,D(X)＝n×0.6×(1－0.6)＝0.24n,若0.3n<X<0.9n,则－0.3n<X－0.6n<0.3n,由切比雪夫不等式可得P(|X－μ|<ε)＝P(|X－0.6n|<0.3n)≥1－σ2ε2＝1－0.24n(0.3n)解得n≥803,即最少种植27株,故C正确设存活m株的概率最大,X~B(20000,0.8),则P(X＝m)＝C20000m×0.8m×0.2＝20000!(20000−m)!m!×P(X＝m＋1)＝C20000m＋1×0.8m＋1×＝20000!(19999−m)!(m＋1)!×0.8P(X＝m－1)＝C20000m−1×0.8m－1×＝20000!(20001−m)!(m−1)!×0.8则P＝20＝(20000−m解得m≥16000－15P＝(20001−m解得m≤16000＋45又m∈N*,所以当m＝16000时,P(X＝m)最大,故D正确.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知O为坐标原点,抛物线C:y2＝8x的焦点为F,点M(2,y0)在抛物线C上,则|MO|＝.

答案25解析依题意得,y02＝16,解得y0故|MO|＝22＋y13.已知在梯形ABCD中,BC＝2AD,若M为CD边上靠近C的三等分点,且BM＝xAB＋yAD,则x＋y＝.

答案4解析如图所示,因为在梯形ABCD中,BC＝2AD,若M为CD边上靠近C的三等分点,所以CD＝CB＋BA＋CM＝13所以BM＝BC＋CM＝2又因为BM＝xAB＋yAD,则x＋y＝4314.已知m＝99…912个9,n＝66…68个6,则m答案3333解析用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数,则(99…912个9,66…6＝3(33…312个3,11…18个1而11…112个1＝11故(11…112个1,11…18个1)＝(1111则m,n的最大公约数为3333.四、解答题(本题共13分.考查方向:数列)15.已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足an>3n＋52(3)已知bn＝16an＋6n−20,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:－1(1)解由已知Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn,则an＋1＝