2015数学三模拟试卷（高频考点）

2015数学三模拟试卷（高频考点）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)≠0，则当x→x0时，函数f(x)的增量Δf与自变量增量Δx的比值的极限为（）。A.f(x0)B.f'(x0)C.0D.-f'(x0)解析：根据导数定义，f'(x0)=lim(x→x0)Δf/Δx。由于f(x)在x0处可导且f'(x0)≠0，当x→x0时，Δx→0，但Δf也趋近于0，因此比值Δf/Δx的极限为f'(x0)。选项B正确。2.函数f(x)=√(x+1)在区间[-1,1]上的平均变化率为（）。A.1/2B.1C.√2D.2√2解析：平均变化率=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=(√2-1)/(2)=(√2-1)/2≈0.207。选项A最接近计算结果。3.设函数g(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且极值为-1，则a和b的值分别为（）。A.a=5,b=5B.a=3,b=3C.a=2,b=2D.a=4,b=4解析：首先g(1)=-1得到1-a+b-1=-1即b=a-1。再求导g'(x)=3x^2-2ax+b，令x=1得到3-2a+b=0，代入b=a-1解得a=4,b=3。选项D正确。4.不定积分∫(x^2+1)/(x+1)^2dx的值为（）。A.x/(x+1)+CB.-x/(x+1)+CC.x/(x+1)^2+CD.-x/(x+1)^2+C解析：令u=x+1，则x=u-1，dx=du，原式=∫((u-1)^2+1)/u^2du=∫(u^2-2u+2)/u^2du=∫(1-2/u+2/u^2)du=u-2ln|u|-(2/u)+C=x-2ln|x+1|-(2/(x+1))+C。选项B正确。5.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，且a_n>0，则下列级数中一定收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)a_n^2B.∑(n=1to∞)√a_nC.∑(n=1to∞)(a_n+1/n)D.∑(n=1to∞)a_n^3解析：由于a_n>0且∑a_n收敛，根据比较判别法，若0≤b_n≤a_n且∑a_n收敛，则∑b_n也收敛。选项A中a_n^2≤a_n，选项D中a_n^3≤a_n，因此ABD正确。但C中(1/n)发散，故C不一定收敛。选项A正确。6.设函数f(x)在闭区间[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且满足f(0)=f(π)，则在(0,π)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。这个命题的正确性取决于（）。A.微积分基本定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒中值定理解析：这是罗尔定理的结论，而罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。因此这个命题的正确性取决于拉格朗日中值定理。选项B正确。7.设函数z=f(x,y)在点(1,1)处的偏导数f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=3，则当(Δx,Δy)→(0,0)时，函数在点(1,1)处的全增量Δz的线性主部为（）。A.2Δx+3ΔyB.2Δx-3ΔyC.3Δx+2ΔyD.3Δx-2Δy解析：全增量Δz≈f_x(1,1)Δx+f_y(1,1)Δy=2Δx+3Δy。线性主部为2Δx+3Δy。选项A正确。8.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。则对任意λ∈(0,1)，在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(1-λ)/λ。这个命题的正确性取决于（）。A.柯西中值定理B.拉格朗日中值定理C.泰勒中值定理D.罗尔定理解析：这是柯西中值定理的结论，其中g(x)=x，h(x)=λx+(1-λ)。选项A正确。9.设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且满足f(x)=∫_0^xf(t)dt，则f(x)等于（）。A.0B.xC.e^x-1D.1解析：两边求导得f'(x)=f(x)，解得f(x)=Ce^x。由f(0)=0得C=0，故f(x)=0。选项A正确。10.若函数f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)内可导，则对任意λ∈(0,1)，在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)。这个命题的正确性取决于（）。A.微积分基本定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒中值定理解析：这是拉格朗日中值定理的结论，其中a=0，b=1。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且f'(1)=0，则a=，b=。参考答案：a=3,b=-2解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0。又f(1)=-a+b+1为极大值，即3-a+b=0。联立解得a=3,b=-2。2.若函数g(x)=√(x^2+ax+b)在x=1处取得极小值，且g'(1)=0，则a=，b=。参考答案：a=-2,b=2解析：g'(x)=(2x+a)/(2√(x^2+ax+b))，令x=1得2+a=0即a=-2。又g(1)=√(1-a+b)为极小值，即√(3+b)=极小值，此时a=