【2017考研】全国统考数学二习题集（附解析版）

【2017考研】全国统考数学二习题集（附解析版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上对应题号后的括号内。）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)=0，f'(x₀)≠0，则当x→x₀时，函数f(x)等价于（）A.x-x₀B.(x-x₀)²C.sin(x-x₀)D.ln|x-x₀|2.已知函数g(x)=∫₍ₓ²₎^ₓ³sin(t²)dt，则g'(x)等于（）A.sin(x³)B.sin(x⁶)C.3sin(x⁶)-2sin(x⁴)D.3sin(x⁶)-6x²sin(x⁴)3.设函数f(x)在区间(1,3)内连续，且满足∫₁³f(x)dx=6，则函数F(x)=∫₍₁₎^ₓf(t)dt在x=2处的切线方程为（）A.y=3x-5B.y=2x-1C.y=3x-7D.y=2x+34.微分方程y"-4y'+4y=0的通解为（）A.y=(C₁+C₂x)e²ˣB.y=(C₁+C₂x)e⁻²ˣC.y=C₁e²ˣ+C₂e⁻²ˣD.y=C₁e⁻²ˣ+C₂xe⁻²ˣ5.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=1，f(1)=0，则存在唯一的x₀∈(0,1)，使得f(x₀)+x₀=1，这样的x₀是（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.86.曲线y=ln(x+1)在点(0,0)处的曲率半径为（）A.1B.2C.√2D.√37.设向量a=(1,2,3)，b=(1,-1,2)，则向量a与b的向量积a×b等于（）A.(7,-1,-3)B.(1,7,-3)C.(-1,7,3)D.(7,-3,1)8.设函数f(x)在区间[0,π]上连续，且满足∫₀ˣf(t)cos(t)dt=1，则f(π/2)等于（）A.1B.2C.√2D.π9.级数∑_(n=1)^∞(-1)ⁿ(n+1)/(2n+1)的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断10.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.2B.4C.8D.16二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡上对应题号后的横线上。）1.设函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为________，最小值为________。2.若函数y=ln(x+√(x²+1))的导数y'在x=0处的值为1，则k的值为________。3.微分方程xy'+y=2xlnx的通解为________。4.设曲线y=x³与直线y=3x相交于点P，则曲线在点P处的法线方程为________。5.若向量a=(1,1,1)与向量b=(1,k,2)垂直，则k的值为________。6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足∫₀¹f(x)dx=1，则∫₀¹f(x)sinπxdx的值为________。7.级数∑_(n=1)^∞(2^n+3^n)/4^n的收敛半径为________。8.设矩阵A=⎡⎢⎣102011001⎤⎥⎦，则矩阵A的逆矩阵A⁻¹为________。9.设向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,λ)线性无关，则λ的取值范围为________。10.设事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(AB)=0.4，则P(A|B)的值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在答题卡上对应题号后的括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若函数f(x)在点x₀处可导，则f(x)在点x₀处必连续。（）2.若级数∑aₙ收敛，则级数∑aₙ²也收敛。（）3.微分方程y"+y=0的通解为y=C₁sinx+C₂cosx。（）4.若向量a与向量b平行，则存在非零实数k，使得a=kb。（）5.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)≥0，则∫₀¹f(x)dx≥0。（）6.矩阵A的秩rank(A)等于矩阵A的列向量组的秩。（）7.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则向量组α₁,α₂,α₃中任意两个向量都线性相关。（）8.设事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)。（）9.若随机变量X的期望E(X)存在，则随机变量X的方差Var(X)必存在。（）10.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)≥0，则f(x)在区间[0,1]上必存在最大值。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上相应位置。）1.求极限lim(x→0)(eˣ-1-x)/x²的值。2.讨论函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间(-∞,+∞)上的单调性。3.解微分方程y'-y=xeˣ。4.求函数y=ln(x²+1)在点(0,0)处的二阶导数y''。5.求向量a=(2,1,3)与向量b=(1,2,1)的夹角余弦值。6.求矩阵A=⎡⎢⎣123014002⎤⎥⎦的特征值。7.求级数∑_(n=1)^∞(-1)ⁿ/n的收敛域。8.设事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求P(AUB)的值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上相应位置。）1.求函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值与