炎德英才名校联合体2027届高三上学期入学检测数学试题+答案

图称图称名处CBACB岑岑A.数据8.6,4,11,3,7,9.10的上四分位数为9D.将两个具有相关关系的变量x,y的一组数据(x,yi),(x₂,y₂),…,(xa,y。)调整为(x),yA.πBCDC.[MN|<c⁻²题号123456789得分答案X,则E(X)=·15.(★)(本小题满分13分)2026年7月31日，DeepSeek的V4-flash正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长(单位：分020406080100120使用时长/分钟(2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在(60,80),(80,100)的用户中随机抽取8人，并足5第5页(共6页)18.(本小题满分17分)已知(a∈R).(1)若a=1,求f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程.对所有满足a₁=2且a2+1+2a²+4an—2an+1-3anan+1=0的数列{an},记认为满足a;=h的i高三数学一参考答案题号123456789DACAABDC一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.D【解析】由不等式4—x²≥0,可得x²—4=(x—2)(x+2)≤0,解得-2≤x≤2,得集合A={x∈Z|4-x²≥0}={—2,-1,0,1,2},函数y=√1-x,可得1—x≥0,解得x≤1,得集合B={x|x≤1},所以A∩B={—2,-1,0,1}.2.A【解析,则其共轭复数为,实部·,虚部：故对应点位于第一象限.b,C选项与此矛盾.4.A【解析】若a//b,则存在唯一的实数μ≠0,使得a=μb,5.A【解析】设等边三角形为ABC,绕边AB旋转，取AB的中点为O,连接CO. 因为△ABC是等边三角形，所以CO⊥AB,当△ABC绕AB旋转一周时：点C的轨迹是一个圆，圆心为O,半径边AC旋转形成一个圆锥，顶点为A,高为边BC旋转同理，所以旋转体是由两个全等圆锥拼接而成的.一个圆锥的体积为因此总体积为,所以该旋转体的体积为因此∠BAD=∠CAD=60°,则S△ABC=S△ABD+S△ACD.化简得所以c+4b≥2×(5+4)=18,此时b满足p(x)q(x)=f(x),k可取任意非零实数，得到无数对不同的p,q,A对B:对任意非零常数k,构造p(x)=kx(奇函数)得q(x)=0,p(x)=f(x)不恒为0,仅q(x)=0成立；得p(x)=0,q(x)=f(x)不恒为0,仅p(x)=0成立；都可以唯一分解为奇函数函数所以Q与短轴顶点的最短距离为所,所二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9.BD【解析】对于A,我们把数据8,6,4,11,3,7,9,10,重新排列得到3,4,6,7,8,9,10,11,又8×75%=6,所以这组数据的上四分位数为.5,故A错误；对于B,因为P(D)=1-P(D|C),所以P(D|C)=1-P(D)=P(D),由O向直线4x+3y—12=0作垂线，垂足为D,则当D恰为圆C与直线4x+3y—12=0的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为点O(0,0)到直线4x+3y-12=0的距离此时圆的半径为所以圆C面积的最小值为,因为x>0,eˣ>0,所以f(x)的符号由1-xlnx决定.因此xo是f(x)的极大值点，A正确.对B:令h(x)=xlnx—1,则h'(x)=lnx+1>0(x>1),所以h(x)在(1,十∞)上单调递增.由题意,利用不等式ln(1+t)<t(t>0),取,得,要证|MN|<e⁻²,只需两边取自然对数，等价于lnxo+x₀>2,由于xo>1,由基本不等式成立，故C正确.对D:直线OM的斜率再利用,上式化为①证明①式成立，由于,且由B项已证,所以,且又xo>0,故上式大于0,即①式成立，所以k<e号，D正确.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)13.√5+1【解析】设等比数列公比为q,令,则因为S>0,递增等比数列各项为正，所以as=2.两式相乘，得S²=16,所以S=4. 14.16【解析】设随机变量则,且四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.【解析】(1)由0.002×20+0.004×20+0.009×20+a×20+0.012×20+0.003×20=1,解得a=0.02.…x=0.002×20×10+0.004×20×30+0.009×20×50+0.02×20×70+0.012×20×90+0.003(2)由频率分布直方图可知，在(60,80),(80,100)的用户数之比为5:3,所以用分层抽样抽取的8人中，有3人是忠实粉丝，………(5分)从8人中任取2人，X取0,1,2,,……(11分，算对一个得两分)所以X的分布列为X012P所以X的期望…………………(13分)所以AB⊥平面PAD.………………………(3分)又DMC平面PAD,所以DMLAB,因为AB∩PA=A,且AB,PAC平面PAB,所以DM⊥平面PAB(6分)(2)取AD的中点O,连接PO,CO,由等边三角形性质知PO⊥AD,由面面垂直性质可得PO⊥平面ABCD.因为所以四边形ABCO为平行四边形，得OC//AB,即OC⊥AD(8分)以O为原点，分别以OC,OD,OP为x,y,z则各点坐标为：P(0,0,2√3),B(2………………(9分)设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),设直线PB与平面MCD所成角为θ,代入得,…(14分)故直线PB与平面MCD所成角的正切值为·…………(15分)这是焦点在y轴上的双曲线，其顶点为(0,±1),即点A,B.因此曲线I的方程为……………(5分)(2)显然yQ>0,设点代入双曲线可得展开化简得……………………(13分)若CD斜率不存在，此时易得CD:x=-1或x=1,与双曲线联立解得或又由OQ·OD=0,点Q与点D的横坐标相同，解得.…………(14分)所以OQ·OF=(xQ,ya)·(0,√5)=√5yo=2为定值.…………………(15分)法二：设点Q(x₀,yo),因为OQLOD,则可令点D(kyo,—kx因为切线CD与单位圆相切，故O到直线CD的距离为1,又D(kyo,—kxo)在双曲线上，可得,②…………………(11分)为定值.……………(15分)法三：设点D(xo,yo),C(x1,y₁),若切线斜率存在，设直线CD的方程为y=kx+m,由韦达定理，得,…………(8分)由OQLOD且点Q在直线y=kx+m代入垂直条件并结合yo=kxo+m,推导得,……………(10分)平方得代入韦达定理及m²=k²+1化简可得.………………(13分)若CD斜率不存在，此时易得CD:x=-1或x=1,与双曲线联立解得或又由OQ·OD=0,点Q与点D的横坐标相同，解得…………(14分)所以OQ·OF=√5y=2为定值.………………………(15分)法四：显然切线CD的斜率不为0,设切线CD:x=my+b,设点Q(myQ+b,yQ),D(myp+b,yD),代入双曲线可得展开化简得—5y2+4=0,解得(显然yq>0,负值舍去).……(13分)所以0Q·OF=(xQ,ya)·(0,√5)=√5y=2为定值.…………………(15分)f'(x)=e+xe²—x²+1,故f(0)=e⁰+0×e—0+1=1+1=2.切线斜率为2,得切线方程：y—0=2(x—0),所以f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程为y=2x(4分)当x∈(-1,0)时f'(x)>0,即—1为f(x)的一个极小值点.……………(7分)即g(x)有最小值g(lna)=2a—alna.f(x)有三个极值点，即g(x)有两个变号零点x2,x₃,即解得a∈(e²,+∞).…………(9分)即…(10分),即证·…………………(11分)即证x2+x₃一x2x₃>0,即证x₂x₃一x₂一x₃+1<1,即证e²2+s<a²,即证x₂+x₃<2lna.……………………(15分)设G(x)=g(x)-g(21na-x),……(16分)即x₂+x₃<21na,即证毕.………………(17分)因此可得an+1=2an或an+1=an+2.(亦可直接用求根公式)……………(2分)又因为ig=3(a₁=2,a₂=4,as=8),故k的所有可能取值为10,12,16.…………………(4分)另一方面，若i≤n-1,则k≤2”-1¹,但k=2”-¹+2,显然k>2”¹,因此只能有i=n(8分，用其他方法证明亦可.)构造方