2024考研数学二历年真题｜名师编写

2024考研数学二历年真题｜名师编写一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在该区间内除点c外处处可导，其图像如图所示，则下列关于f(x)在区间(a,b)内的说法正确的是（）A.f(x)在区间(a,b)内单调递增B.f(x)在点c处取得局部极大值C.存在唯一的极值点D.在区间(a,b)内存在不可导点【解析】根据图像可知，f(x)在区间(a,c)内单调递减，在区间(c,b)内单调递增，因此f(x)在点c处取得局部极小值，排除选项B。由于f(x)在区间(a,b)内除点c外处处可导，因此不存在不可导点，排除选项D。由于f(x)在区间(a,b)内存在局部极小值和局部极大值，因此不可能单调递增，排除选项A。综上所述，正确选项为C。2.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2，则g(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）A.8,-2B.7,-2C.8,-8D.7,-8【解析】首先求g(x)的导数g'(x)=3x^2-6x。令g'(x)=0，解得x=0或x=2。计算g(-2)=-8，g(0)=2，g(2)=-2，g(3)=2。因此，g(x)在区间[-2,3]上的最大值为8，最小值为-8，正确选项为C。3.设函数h(x)=e^x-x^2，则h(x)在区间(-1,1)内的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【解析】首先求h(x)的导数h'(x)=e^x-2x。当x∈(-1,0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(0,1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增。计算h(-1)=e^-1-1<0，h(0)=1>0，h(1)=e-1>0。因此，h(x)在区间(-1,1)内有两个零点，正确选项为C。4.已知函数k(x)=sin(x)+cos(x)，则k(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值分别为（）A.√2,-√2B.1,-1C.√2,-1D.2,-√2【解析】首先求k(x)的导数k'(x)=cos(x)-sin(x)。令k'(x)=0，解得x=π/4+kπ，k∈Z。计算k(0)=1，k(π/4)=√2，k(π)=-1，k(5π/4)=-√2，k(2π)=1。因此，k(x)在区间[0,2π]内的最大值为√2，最小值为-√2，正确选项为A。5.已知函数m(x)=ln(x)-x，则m(x)在区间(0,1)内的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定【解析】首先求m(x)的导数m'(x)=1/x-1。当x∈(0,1)时，m'(x)<0，因此m(x)在区间(0,1)内单调递减，正确选项为B。6.已知函数n(x)=x^2e^x，则n(x)在区间(-2,2)内的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3【解析】首先求n(x)的导数n'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x。令n'(x)=0，解得x=0或x=-2。计算n(-2)=4e^-2，n(0)=0，n(2)=4e^2。因此，n(x)在区间(-2,2)内有一个极小值点x=0，正确选项为B。7.已知函数p(x)=x^3-3x^2+2x+1，则p(x)在区间[-1,3]内的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【解析】首先求p(x)的导数p'(x)=3x^2-6x+2。令p'(x)=0，解得x=1±√3/3。计算p(-1)=-2，p(1-√3/3)=1-2√3/3>0，p(1+√3/3)=1+2√3/3>0，p(3)=10。因此，p(x)在区间[-1,3]内有两个零点，正确选项为C。8.已知函数q(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，则q(x)在区间[-1,3]内的最大值和最小值分别为（）A.10,0B.10,-1C.10,1D.10,-2【解析】函数q(x)可以写成q(x)=(x-1)^4。因此，q(x)在x=1处取得最小值0，在区间[-1,3]上的最大值为q(-1)=10，正确选项为A。9.已知函数r(x)=xln(x)，则r(x)在区间(0,1)内的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定【解析】首先求r(x)的导数r'(x)=ln(x)+1。当x∈(0,1)时，ln(x)<0，因此r'(x)<1，但需要进一步分析r'(x)是否始终小于0。实际上，r'(x)=0当x=1/e，当x∈(0,1/e)时，r'(x)<0，当x∈(1/e,1)时，r'(x)>0。因此，r(x)在区间(0,1)内先减后增，正确选项为C。10.已知函数s(x)=x^2sin(x)，则s(x)在区间[-π,π]内的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【解析】函数s(x)=x^2sin(x)在x=0处有一个零点。由于sin(x)在[-π,π]内有两个零点x=-π和x=π，且x^2≠0，因此s(x)在[-π,π]内共有3个零点，正确选项为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]内的最大值为___