第六节　离散型随机变量及其分布列、期望与方差

第六节离散型随机变量及其分布列、期望与方差明确目标1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征(期望与方差).目录课时作业评价01Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|1.随机变量(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有_______________与之对应,我们称X为随机变量.(2)离散型随机变量可能取值为_______或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.唯一的实数X(ω)有限个2.离散型随机变量的分布列(1)定义一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称____________________P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)性质①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②p1+p2+…+pn=____.X取每一个值xi的概率13.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn②意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xnpn平均水平②意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度(或波动大小).方差或标准差越小,取值越集中;方差或标准差越大,取值越分散.(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn

4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=___________;(2)D(aX+b)=_________.5.离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系离散型随机变量的方差即总体的方差,它是一个常数,不随抽样样本的不同而变化,是客观存在的;样本方差则是随机变量,它是随样本的不同而变化的.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差.aE(X)+ba2D(X)

X01P_____p称随机变量X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=_____,D(X)=________.1-p1-ppp(1-p)7.常用结论若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数;(2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(4)若X1与X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).

解析:设失败率为p,则成功率为2p,∴X的分布列如表所示.X01Pp2p

√2.(苏教选必修②P146T7)设随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的.若P(X<4)=0.3,则下面结论中正确的是

(

)A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n不能确定√3.(人A选必修③P66T1改编)已知X的分布列为X-101P

√4.(人A选必修③P71T3改编)随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b.若E(X)=1,则a=_________,b=__________.0.60.2

02题点一离散型随机变量分布列的性质(自主练通)1.已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|2X-3|<3)=

(

)X1234P0.1m0.30.2

解析:由题得0.1+m+0.3+0.2=1,则m=0.4,故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5.故选C.√2.设x,y∈(0,1),已知随机变量的分布列如下,ξ012Pxyx

快审准解:由随机变量分布列的性质得到2x+y=1,再利用“1”的代换,构造基本不等式求解.√

√

4.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y代替,其分布列如下:X123456P0.200.10x0.10y0.20

0.5思维建模

离散型随机变量的分布列性质的应用题点二离散型随机变量的分布列及均值、方差[例1]

(多选)已知随机变量X的分布列为X-1012Pabc0.25

√√√

[例2]

在一次班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目.(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率;

(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列、数学期望和方差.X01234P

思维建模

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值;(2)求ξ取每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ).即时训练1.[多选]已知随机变量X的分布列如下,则下列说法正确的是

(

)X-2-112Pmn

√√√

X214P

2.[多选]已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验可得0<a<2,随机变量X的分布列为X0a2Pb

√√√

√题点三离散型随机变量均值与方差的实际应用[例3]

(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;

(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.解:X的取值可以为0,10,20,30.P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.44,P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06思维建模随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.即时训练4.(2026·武汉模拟)某次机器人展览会上,已知某公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:内饰外观红色外观蓝色外观棕色内饰1010米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A为小明取到红色外观的模型,事件B为小明取到棕色内饰的模型,求P(B)和P(B|A),并判断事件A和事件B是否独立;

(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色,外观和内饰都异色,以及仅外观或内饰同色;假设2:按抽奖的可能性大小,概率越小奖项越高;假设3:该抽奖活动的奖金金额为一等奖800元,二等奖500元,三等奖300元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金金额,写出X的分布列并求出X的数学期望.

∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色,二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色,三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色.所以X的分布列为X800500300P

课时作业评价0315678910111213234一、单选题1.一次考试选择题每题5分,设某学生答对的选择题数为随机变量X,选择题得分为随机变量Y,已知P(Y≥30)=0.6,则P(X<6)的值为(

)A.0.6 B.0.5 C.0.3 D.0.4解析:根据题意知Y=5X,所以X<6⇔5X<30⇔Y<30.因为P(Y≥30)=0.6,所以P(Y<30)=0.4,所以P(X<6)=0.4.故选D.√15678910111223413

解析:因为E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,所以2E(X)+3=7,22D(X)=16,解得E(X)=2,D(X)=4.故选B.√156789101112234133.(2026·广州模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示:X-101Pmn

√15678910111223413

√15678910111223413

15678910111223413二、多选题5.已知随机变量X的分布列为X-101Pp1p2p2

√√15678910111223413

15678910111223413

√√√15678910111223413

15678910111223413三、填空题7.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=______,E(ξ)=_______.

15678910111223413

Ξ1234P

15678910111223413

15678910111223413解析:该游客转动指针三次的结果的树状图如下:则X的分布列为X0123P

15678910111223413

15678910111223413(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(4分)

15678910111223413(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率;(4分)

15678910111223413(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X,求X的分布列、均值E(X)、方差D(X).(7分)X02468P

1567891011122341310.(15分)甲、乙两名围棋手对弈,比赛实行五局三胜制,第一局通过猜子确定甲执黑先行,其后每局交换先行者,直至比赛结束,已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6,乙先行时他赢下该局的概率为0.5.(1)求比赛只进行了三局就结束的概率;(5分)解:比赛只进行三局,则都是甲赢或都是乙赢,所以概率为0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.18+0.08=0.26.15678910111223413(2)已知甲胜了第一局,求比赛进行局数的期望.(10分)

甲乙甲乙乙胜甲乙乙乙甲胜甲甲乙甲甲胜甲乙甲甲P(X=4)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.35,P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35,故E(X)=3×0.3+4×0.35+5×0.35=4.05.解:

设比赛进行的局数为X,则X所有可能的取值为3,4,5.当X=3时,则前三局都是甲赢,P(X=3)=0.5×0.6=0.3,当X=4时,则可能的情况是1567891011122341311.(15分)某商场在双十一期间举办优惠促销活动,顾客消费满500元(含500元)可抽奖一次,抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种).方案1:从装有3个红球,2个黑球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中,有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球,立减100元,若3次都摸到红球,则额外再减100元(即总共减400元);方案2:从装有3个红球,2个黑球(形状、大小完全相同