第五节　事件的相互独立性、条件概率、全概率公式

第五节事件的相互独立性、条件概率、全概率公式明确目标1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率.2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.3.理解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.4.会利用全概率公式计算概率.目录课时作业评价01Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|1.相互独立事件概念对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立性质B

10和10≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)1-P(B|A)(3)概率的乘法公式由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=___________,我们称该式为概率的乘法公式.P(A)P(B|A)

√2.(人A必修②P251例2改编)甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为

(

)A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88

√

0.5

02题点一事件的相互独立性考法(一)

相互独立事件的判断[例1]

判断下列各对事件是不是相互独立事件.(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;解:定性法

“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.(2)掷一枚骰子一次,事件A:“朝上面的点数为偶数”,事件B:“朝上面的点数为3或6”.

思维建模

√

思维建模

求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.判断事件相互独立,一般用定义判断.(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).即时训练1.[多选]先后抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A表示“第1枚正面向上”,事件B表示“第2枚反面向上”,事件C表示“恰有1枚正面向上”,事件D表示“两枚都正面向上”,则

(

)A.A与B相互独立 B.A与C相互独立C.A与D相互独立 D.B与D互斥√√√

题点二条件概率

√

思维建模

即时训练

√

4.一个数学兴趣小组共有2名男生、3名女生,从中随机选出2名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为__________.

题点三全概率公式的应用[例4](1)小张一家打算去甲市或乙市旅游,去甲市与乙市的概率分别为0.7,0.3,在甲市去游乐园的概率为0.6,在乙市去游乐园的概率为0.4,则小张一家去游乐园的概率为(

)A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54解析:设去甲市与乙市旅游分别为事件A1,A2,则P(A1)=0.7,P(A2)=0.3.设事件B为去游乐园,则P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.4.所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54.故选D.√(2)甲袋中有3个红球,2个白球和1个黑球,乙袋中有4个红球,1个白球和1个黑球(除颜色外,球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1球.分别以A1,A2,A3表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件,以B表示由乙袋取出的球是红球的事件,则P(B|A1)=___________,P(B)=____________.

思维建模

利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式计算.即时训练√5.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计,某校有高一、高二、高三三个年级,这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4,现从这三个年级中随机抽一名教师,则该教师喜欢跑步的概率为

(

)A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36

课时作业评价03156789101112131415234

√156789101112131415234

156789101112141523413

√

1567891011121415234133.如图,一个质点从原点0出发,每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位长度,共移动4次,在质点第一秒位于1的位置的条件下,该质点共经过两次2的位置的概率为

(

)

√156789101112141523413

156789101112141523413

√156789101112141523413

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√156789101112141523413法二

设该校有100名学生,整理得到如下列联表:视力玩手机时间合计超过1

h不超过1

h近视103040不近视105060合计2080100

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√156789101112141523413

156789101112141523413二、多选题7.已知甲、乙两鱼塘均养有草鱼、青鱼、鲢鱼三种不同类型的鱼,已知甲鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.3,0.4,乙鱼塘的草鱼和青鱼的频率分别为0.4,0.2.现从甲、乙两鱼塘各随机打捞一条鱼,则(

)A.两条鱼中一条为草鱼一条为青鱼的概率为0.22B.两条鱼都是青鱼的概率为0.12C.两条鱼中至少有一条为草鱼的概率为0.58D.两条鱼中恰好有一条为鲢鱼的概率为0.36√√156789101112141523413

156789101112141523413方法解读:根据从甲、乙两鱼塘打捞出草鱼、青鱼、鲢鱼,分别设出事件A1,B1,C1,A2,B2,C2,依题求出它们的概率,利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式,分别对各选项相关事件的概率计算判断即可.156789101112141523413

√√√156789101112141523413

156789101112141523413三、填空题9.某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去B餐厅用餐的概率为______________.0.3156789101112141523413解析:设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7,即王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7,故王同学第2天去B餐厅用餐的概率为1-0.7=0.3.156789101112141523413

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解题关键:根据题意,甲获得比赛胜利,比赛的结果可为3∶0,3∶1和3∶2,分别求得概率,再利用条件概率公式求解即可.15678910111214152341311.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.若任意按最后1位数字,则不超过2次就按对的概率为_____;如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为___________.

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156789101112141523413四、解答题12.(13分)已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同,先后三次从中不放回地各摸出一球.(1)求前两次摸到的均为黑球的概率;(2分)

156789101112141523413(2)求第一次摸到白球的条件下,第二次摸到黑球的概率;(3分)

(3)求第二次才摸到黑球的概率;(3分)

156789101112141523413(4)求第三次才摸到黑球的概率.(5分)

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156789101112141523413(2)求最终小金获胜的概率.(10分)

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√√√156789101112141523413解析:对于A,当发送两次信号是“0”“1”,接收到的信号是“0”“1”时,其概率为