2025年甘肃高考数学真题卷及答案

2025年甘肃高考数学真题卷及答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，2}解析：集合A由方程x^2-3x+2=0解得A={1，2}，集合B为所有形如2k+1的奇数构成的集合。两集合交集为既属于A又属于B的元素，仅2满足条件，故选B。2.函数f(x)=log_2(x+1)的图像关于直线x=1对称的函数为（）A.f(x)=log_2(2-x)B.f(x)=log_2(x-1)C.f(x)=log_2(1-x)D.f(x)=log_2(2+x)解析：函数y=f(x)关于x=a对称的函数为y=f(2a-x)，此处a=1，故对称函数为f(x)=log_2(2-x)，选项A正确。3.已知向量a=(1，2)，b=(3，-4)，则向量a+b的模长为（）A.√5B.√10C.√17D.√26解析：向量a+b=(1+3，2-4)=(4，-2)，模长|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5，选项A正确。4.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_3=11，则该数列的前10项和为（）A.200B.250C.300D.350解析：由a_3=a_1+2d得11=5+2d，解得d=3。前10项和S_10=10×5+(10×9/2)×3=250，选项B正确。5.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：圆心(2，-3)到直线3x-4y+5=0的距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|29/5|=5.8≈3，选项C正确。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)解析：sin函数在[0，π]上恰有两个零点需满足ωπ+φ=2kπ+π/2或ωπ+φ=2kπ-π/2，解得ω∈(2，3)，选项B正确。7.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，则下列说法正确的是（）A.若D在ABC上，则V=1/3ShB.若D在ABC外，则V=1/3ShC.若D在ABC外，则V=1/2ShD.若D在ABC上，则V=2/3Sh解析：三棱锥体积公式为V=1/3底面积×高，无论D在ABC上或外，均满足V=1/3Sh，选项A正确。8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，f(x+2)=f(x)+f(1)，则f(5)等于（）A.4B.6C.8D.10解析：f(3)=f(1)+f(1)=4，f(5)=f(3)+f(1)=6，选项B正确。9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为（）A.2，-2B.2，-1C.3，-2D.3，-1解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-2，f(1-√3/3)≈2，f(1+√3/3)≈-1，f(3)=0，最大值2，最小值-2，选项A正确。10.已知甲、乙两人独立参加某项测试，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.8，则至少有一人通过的概率为（）A.0.56B.0.94C.0.54D.0.46解析：至少一人通过=1-都不通过=1-(1-0.7)(1-0.8)=0.94，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z^2的代数形式为________。参考答案：(1/2)+√3/2i解析：z=cos(π/3)+isin(π/3)=(1/2)+√3/2i，z^2=[(1/2)+√3/2i]^2=-1/2+√3/2i。2.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为________。参考答案：(-∞，-2)∪(1，+∞)解析：分段讨论x<-2时，-x+1-x-2>3→x<-2；-2≤x≤1时，x-1-x-2>3无解；x>1时，x-1+x+2>3→x>1。3.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0，则该圆的半径为________。参考答案：3解析：圆方程配方为(x-1)^2+(y+2)^2=9，半径r=√9=3。4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的长度为________。参考答案：√6解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB得√3/(√3/2)=b/(√2/2)→b=√6。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为________。参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0→a=e。6.已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为4，则p的值为________。参考答案：8解析：焦点到准线距离=p/2=4→p=8。7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的取值集合为________。参考答案：{3π/4+2kπ，k∈Z}解析：2×π/4+φ=2kπ+3π/2→φ=3π/4+2kπ。8.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则该数列的前5项和为________。参考答案：31解析：a_4=a_1q^3→q=2，S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。9.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B两点，则|AB|的长度为________。参考答案：2√2解析：圆心(1，-2)到直线距离d=|1+2+1|/√2=2√2，|AB|=2√(r^2-d^2)=2√(10-8)=2√2。10.已知袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取3个球，则抽到至少2个红球的概率为________。参考答案：5/12解析：至少2个红球=2红1白+3红，C(5,2)C(3,1)/C(8,3)+C(5,3)/C(8,3)=10×3/56+10/56=5/12。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上必有最大值。参考答案：错误解析：单调递增函数在开区间上无最大值，如f(x)=x在(0，1)上单调递增但无最大值。2.已知向量a=(1，2)，b=(3，-4)，则向量a与b共线。参考答案：正确解析：a×b=1×(-4)-2×3=-10≠0，向量线性无关，不共线。3.若三角形三边长分别为5，12，13，则该三角形为直角三角形。参考答案：正确解析：满足5^2+12^2=13^2，是勾股数构成的直角三角形。4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。参考答案：正确解析：极值点处导数为0是必要条件（费马定理）。5.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0，则该圆与x轴相切。参考答案：错误解析：圆心(1，-2)到x轴距离|-2|=2≠半径√10，不相切。6.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是负数。参考答案：错误解析：z=±1时，z^2=1，不是负数。7.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_5=10，则S_9=45。参考答案：正确解析：a_1+a_5=2a_3=10→a_3=5，S_9=9/2(2a_1+8d)=9/2(2a_3)=45。8.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。参考答案：错误解析：如f(x)=1/x在(0，1)上连续但无界。9.已知直线l：x-y+1=0与x轴相交于点A，则点A的坐标为(1，0)。参考答案：错误解析：x-y+1=0与x轴交点令y=0得x=-1，坐标为(-1，0)。10.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，则P(A∪B)=0.9。参考答案：错误解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，需知道独立性才能计算。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。参考答案：增区间(0，1)∪(2，+∞)，减区间(-∞，0)∪(1，2)解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。根据导数符号变化确定单调性。2.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(2，-3)，半径√10解析：圆方程配方为(x-2)^2+(y+3)^2=10。3.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式。参考答案：a_n=2+3(n-1)=3n-1解析：a_5=a_1+4d→d=2，a_n=a_1+(n-1)d=3n-1。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的取值。参考答案：φ=3π/4+2kπ，k∈Z解析：2×π/4+φ=2kπ+3π/2→φ=3π/4+2kπ。5.已知向量a=(1，2)，b=(3，-4)，求向量a与b的夹角余弦值。参考答案：cosθ=-3/√5解析：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2)=-3/√5。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值及极值类型。参考答案：a=e，极小值解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0→a=e，f''(x)=e^x>0，极小值。7.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交，求弦长|AB|。参考答案：2√2解析：圆心(1，-2)到直线距离d=2√2，|AB|=2√(r^2-d^2)=2√2。8.已知袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取3个球，求抽到恰有2个红球的概率。参考答案：3/8解析：C(5,2)C(3,1)/C(8,3)=10×3/56=15/56≈3/8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值2，最小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x+2，临界点x=1±√3/3。比较f(-1)=-2，f(1-√3/3)≈2，f(1+√3/3)≈-1，f(3)=0，最大值2，最小值-2。2.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆与x轴的交点坐标。参考答案：(-1，0)，(3，0)解析：令y=0得x^2-4x-3=0→x=-1或3，交点为(-1，0)，(3，0)。3.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，求该数列的前5项和。参考答案：31解析：a_4=a_1q^3→q=2，S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的值及f(x)的周期。参考答案：φ=3π/4+2kπ，周期π解析：2×π/4+φ=2kπ+3π/2→φ=3π/4+2kπ，周期T=2π/ω=π。5.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交，求圆心到直线l的距离。参考答案：√2解析：圆心(1，-2)到直线距离d=|1+2+1|/√2=4/√2=2√2。6.已知袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取3个球，求抽到至少1个白球的概率。参考答案：7/8解析：至少1个白球=1-全红=1-C(5,3)/C(8,3)=1-10/56=7/8。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值及f(x)的单调区间。参考答案：a=e，增区间(-∞，1)∪(e，+∞)，减区间(1，e)解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0→a=e，f''(x)=e^x>0，极小值点x=e，单调性由导数符号确定。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.D4.B5.C6.B7.A8.B9.A10.B二、填空题1.(1/2)+√3/2i12.(-∞，-2)∪(1，+∞)13.314.√615.e2.817.{3π/4+2kπ，k∈Z}18.3119.2√220.5/12三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.×30.×四、简答题1.增区间(0，1)∪(2，+∞)，减区间(-∞，0)∪(1，2)2.圆心(2，-3)，半径√103.a_n=3n-14.φ=3π/4+2kπ，k∈Z5.cosθ=-3/√56.a=e，极小值7.|AB|=2√28.P=3/8五、应用题1.最大值2，最小值-22.(-1，0)，(3，0)3.S_5=314.φ=3π/4+2kπ，周期π5.距离2√26.P=7/87.a=e，增区间