清华大学物理课件力学第6章振动

李萨如图形自学总结第六章振动1振动（简谐振动）受迫振动（有阻尼）—共振自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动本章重点：简谐振动2§6.1简谐振动§6.4阻尼振动§6.5受迫振动第六章振动§6.2简谐振动的合成§6.3谐振分析3▲简谐振动是最简单、最基本的振动，可用来研究复杂振动。一.简谐振动定义x可以是位移、电流、场强、温度…物理量随时间按正弦或余弦变化的过程：§6.1简谐振动▲简谐振动是理想化模型，许多实际的小幅振动都可以看成简谐振动。—简谐振动41.受力特征k—劲度系数或刚度系数

F—恢复力（弹性力或准弹性力）二.简谐振动的判据（针对机械振动）2.微分方程

—角频率或圆频率53.能量特征（弹性力是保守力）或上面1、2、3中任何一条成立即可判定为是简谐振动。6

三.

简谐振动的特征量1.角频率只由系统本身决定，也称为固有频率频率周期72.振幅由初始条件和系统本身情况决定3.初相（位）（一般取主值）由初始条件及系统本身情况决定8四.简谐振动的表示法1.振动函数给定振幅A、角频率

和初相位

，就给定了一个简谐振动。92.振动曲线xo

t

>0-

=

/2

T=2

A-A

=0omx0=AxA(伸长量)om0<x0<AxAomx0=0xA103.旋转矢量法例：已知答：x参考圆

AA

t+

0xtt=0

x=Acos(

t+

)

·用旋转矢量法定初相

很方便。用旋转矢量法研究振动的合成也很方便。xv0<0v0>00x0A/211解：方法一，分析受力（压强差）恢复力令

是简谐振动角频率S

y

y-

y0已知：U形管内液体质量为m，密度为

，管的截面积为S。开始时，造成管两边液面有一定高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。试判断液体柱振动的性质。【例1】12方法二，分析能量EP

=0无损耗角频率S

y

y-

y0

是简谐振动13【例2】证明稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。在x=0附近将势能展开：对微振动，可取到x2项，且令Ep(0)=0证明：mx014

稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。例子：原子和分子的振动、固体晶格振动等。mxEp0令15

一.同一方向上的合成1.同频率合成仍是同频率简谐振动§6.2简谐振动的合成

1

xxx1x2

2

0重要特例：同相反相16n个振幅相等、初相依次相差常量

的简谐振动的合成合成仍是同频率简谐振动：...

0

17重要特例：

n个分振动同相：n个分振动初相依次差：分振动振幅矢量构成封闭多边形例

n=4：182.不同频率合成结果为非简谐振动：重要特例：若

1、

2大，而差值小，则合振动振幅时大时小，称为“拍”。为简单设：变化慢变化快19

A=Amax

=A1+A2同向重合时，反向重合时，拍频

1

2x0振幅大小缓慢变化可用来测频率，或得到更低频的振动。“拍”现象20tx1

2tx2

1

=|

1-

2

|tx21二.两个互相垂直的简谐振动的合成▲，合振动为线振动。▲

一般情况下，合振动为斜椭圆。且当Ax

=

Ay

时,为圆。▲

合振动为正椭圆。1.同频率22合振动轨迹的旋转矢量作图法以为例（y相位领先）123456780001122334455667788xyyxy相位领先，为右旋；x相位领先，为左旋。23不同，椭圆形状、旋向也不同。y

领先，右旋（以

为界决定超前、落后）

=0yx

=

/4P··Q

=

/2

=3

/4

=

=5

/4（-3

/4）

=3

/2（-

/2）

=7

/4（-

/4）x领先，左旋242.不同频率，但有简单整数比合成轨迹为稳定的闭合曲线

—李萨如图形例如左图：应用：测定未知频率yxAxAy0-Ay-Ax25

x

y213132

x

yx0026

3.无理数合成轨迹为非闭合曲线两个振动间如果存在弱的物理耦合，就可以使得

1:

2就近锁定为两个整数比，称为锁频现象，如生物钟现象。27周期为T

的任意振动可分解为傅立叶级数：k=1基频（

）k=2二次谐频（2

）k=3三次谐频（3

）

决定音调决定音色高次谐频§6.3谐振分析任意振动简谐振动叠加傅立叶分析分解28x2n

=0,n=1,

2,

…

Ak0234561(

)k分立谱：例如方波：赞美歌唱家：“声音洪亮，音域宽广，音色甜美”，各指什么因素?

x1t0x3t0x5t0ta0/20x0x0+x1+x3+x5t0T0ta0T29§6.4阻尼振动—衰减因子1.欠阻尼（

<0）—周期比系统固有周期长固有频率阻尼系数方程阻尼项方程解30在

时间内，振动次数越多，振动质量越好。品质因素：（T、

可用系统固有周期和角频率代）品质因素概念鸣响时间

：能量减到起始能量的1/e

所用时312.过阻尼（

>0）3.临界阻尼（

=0）为非周期振动刚能作非周期振动，回到平衡位置时间最短。（电表指针设计）无线电震荡回路：Q~102音叉、钢琴弦：

Q~103激光器光学谐振腔：

Q~107过阻尼临界阻尼欠阻尼xt032在驱动力的作用下系统的振动稳态解：§6.5受迫振动1.振动方程和解（阻尼解

—暂态解经长时间后衰减掉）33此解与简谐振动相似，但不是一回事：系统振动频率=驱动力频率

固有频率

0注意：A和

是

h,

,

0,

的函数，与初始状态（x0、v0）无关342.共振在弱阻尼（

<<

0）情况下，当

=

0时，系统振动速度和振幅都达到最大值—共振。共振时，系统能最大限度地从外界获得能量：因为此时即驱动力与速度同相，驱动力总是作正功，系统能最大限度从外界获得能量，振幅可达最大值（如荡秋千）。35小号声波振碎酒杯我国古代对“共振”早有认识。公元五世纪《天中记》：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，问张华。张华曰：此盘与宫中钟相谐，故声相应，可改变其薄厚。36随后在大风中因产生共振而断塌1940年美国塔科曼海峡大桥在大风中产生振动大桥共振【TV】37【演示】多谐共振【TV】竖直和水平弹簧振子音叉演示拍激光演示李萨如图音叉耦合摆球多谐共振仪受迫振动：马达和弹簧共振：锯条和马达38【附】受迫振动振幅、相位公式推导由方程：(3)有特解：(4)推导的思路：39将特解(4)式改写为：(6)(