二次函数的图象和性质课件

九年级数学下册二次函数的图象和性质（3）探究y=a(x−h)²+k的图象特征与平移规律Contents本节课学习目录从已有知识出发，逐步探究二次函数的平移变换与图象性质01复习导入：回顾y=ax²与y=ax²+c02探究新知：y=a(x−h)²的图象与性质03深入探究：y=a(x−h)²+k的图象与平移04性质总结与画图方法05例题精讲与课堂练习CHAPTER01复习导入回顾y=ax²与y=ax²+c的图象和性质，为新知探究做准备QUADRATICFUNCTION复习：y=ax²的基本性质y=ax²是最基础的二次函数形式，其图象为以原点为顶点、y轴为对称轴的抛物线。系数a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口宽窄，这些基本性质是理解所有二次函数图象变换的基石。当a>0时1抛物线开口向上，顶点(0,0)为最低点，y有最小值0。图象呈"U"形，关于y轴对称，在x=0处取得极小值。2对称轴为y轴(直线x=0)，在x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大。函数在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增。3|a|越大，抛物线开口越窄，图象越靠近y轴；|a|越小，开口越宽，图象越舒展。当a<0时抛物线开口向下，顶点(0,0)为最高点，y有最大值0对称轴为y轴(直线x=0)，在x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小QUADRATICFUNCTIONS复习：y=ax²+c的图象与平移y=ax²+c是在y=ax²基础上沿y轴方向平移得到的，常数c控制竖直方向的位移：c>0向上平移，c<0向下平移。平移只改变顶点纵坐标，不影响开口方向和对称轴位置，体现了"上加下减"的平移规律。01平移方向与距离y=ax²+c的图象可由y=ax²沿y轴方向平移|c|个单位得到：c>0时向上平移，c<0时向下平移。这是二次函数图象变换的基础操作。02形状与对称性不变平移后抛物线形状、开口方向和对称轴（仍为y轴）均不变，仅顶点坐标由(0,0)变为(0,c)。平移不改变二次项系数a的绝对值。03最值与增减性a>0时，x=0处y取最小值c；a<0时，x=0处y取最大值c，增减性与y=ax²相同。对称轴左右两侧的单调性保持一致。04"上加下减"规律理解"括号外上加下减"规律：在函数表达式末尾加正数则图象上移，加负数则下移。这是函数图象竖直平移的核心口诀。Chapter02·二次函数思考：更一般的二次函数形式从y=ax²到y=ax²+c，我们掌握了纵向平移规律。但实际问题中二次函数的形式更加多样，需要进一步探究x方向上的平移规律，以及纵横平移叠加后的综合效果，这就是y=a(x-h)²+k形式要解决的问题。01已知y=ax²+c掌握了纵向平移（上加下减），但水平方向（左右）平移规律尚未探究y=ax²+c02提出核心问题：y=a(x-h)²中参数h如何影响图象位置？它与y=ax²有何关系？y=a(x−h)²03进阶问题：y=a(x-h)²+k同时含有h和k时，图象如何由y=ax²经过两次平移得到？y=a(x−h)²+k04学习目标：理解y=a(x-h)²+k的图象特征，掌握平移规律，能熟练画图并运用性质解题图象·性质·应用Chapter02探究新知：y=a(x-h)²通过列表描点画图，发现水平平移规律与图象性质NUMERICALCOMPARISON探究活动：列表比较y=2x²与y=2(x-1)²通过数值列表对比可以发现，y=2(x-1)²的函数值总是比y=2x²在x增大1之后才取到相同的值，这种数值上的"滞后"关系反映了图象在水平方向上向右平移了1个单位。y=2x²与y=2(x-1)²函数值对比表xy=2x²y=2(x-1)²-2818-1280021202823188同一y值对应的x相差1，验证水平平移Δx=1对于每一个y值，y=2(x-1)²取到该值时的x总比y=2x²取到该值时的x大1。例如y=0时，前者在x=1处取到，后者在x=0处取到。→RIGHT这种数值上的"滞后"意味着：y=2(x-1)²的图象是由y=2x²的图象向右平移1个单位得到的。函数的水平平移方向与代数表达式的直觉方向一致。二次函数·图象变换y=2(x-1)²的图象特征与性质y=2(x-1)²的图象是由y=2x²向右平移1个单位得到的抛物线，形状与开口方向不变，但对称轴变为x=1，顶点移到了(1,0)。图象特征由y=2x²向右平移1个单位得到，形状、大小、开口方向完全相同。平移1个单位图象特征对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,0)，顶点是最低点。(1,0)增减性与最值当x<1时，y随x增大而减小；当x>1时，y随x增大而增大。x=1为界增减性与最值当x=1时，y取得最小值0，即y的最小值为0。最小值=0二次函数·图象变换对比探究：y=2(x+1)²的图象y=2(x+1)²由y=2x²向左平移1个单位得到，与y=2(x-1)²的右移形成对称关系。结合两个例子可归纳出水平平移的核心规则：括号内"左加右减"，即加向左、减向右。y=2(x+1)²的性质01图象来源与基本特征由y=2x²向左平移1个单位得到，开口向上，抛物线形状保持不变，仅位置发生水平移动。水平左移·形状不变02对称轴与顶点坐标对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1,0)，位于x轴负半轴。顶点(-1,0)·最低点03单调性与最值分析当x<-1时y随x增大而减小，x>-1时y随x增大而增大，x=-1时y最小值为0。先减后增·最小值0水平平移规律初探01参数h的几何意义y=a(x-h)²中，h>0时图象向右平移h个单位，h<0时向左平移|h|个单位。h的符号决定方向02"左加右减"口诀简记为"左加右减"：括号内加则左移，括号内减则右移。这是二次函数图象变换的核心规律。记忆口诀·快速判断03平移的不变特征平移只改变顶点横坐标和对称轴位置，不改变开口方向和形状，二次项系数a保持不变。形状不变·仅移位置VERIFICATION·实例验证验证：y=-3(x+2)²的图象与性质通过a<0的实例验证水平平移规律的普适性。y=-3(x+2)²由y=-3x²向左平移2个单位得到，'左加右减'规律与a的正负无关，始终成立。01平移来源y=-3(x+2)²的图象由y=-3x²向左平移2个单位得到，开口向下，形状大小不变左移202对称轴与顶点对称轴为直线x=-2，顶点坐标为(-2,0)，顶点是最高点(-2,0)03增减性当x<-2时y随x增大而增大，x>-2时y随x增大而减小，x=-2时y取最大值0x=-2分界04规律验证水平平移的'左加右减'规律与a的正负无关，对任何二次函数均适用普适成立CHAPTER03深入探究：y=a(x−h)2+k理解水平与竖直平移的叠加效果，掌握完整的图象变换规律二次函数图象变换探究：y=2(x-1)²+3的图象平移过程y=a(x-h)²+k的图象可通过两步平移得到：先水平平移(左右)再竖直平移(上下)。以y=2(x-1)²+3为例，y=2x²先右移1个单位再上移3个单位，顶点从(0,0)变为(1,3)。平移过程分解01第一步：y=2x²向右平移1个单位→y=2(x-1)²，顶点由(0,0)→(1,0)02第二步：y=2(x-1)²向上平移3个单位→y=2(x-1)²+3，顶点由(1,0)→(1,3)平移结果分析03最终对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,3)，开口向上，形状与y=2x²完全相同04水平平移改变对称轴和顶点横坐标，竖直平移只改变顶点纵坐标，两者互不干扰二次函数平移平移顺序不影响最终结果水平平移和竖直平移相互独立，无论先左右后上下还是先上下后左右，最终得到的抛物线位置完全相同。01路径一（先左右后上下）y=2x²→右移1→y=2(x-1)²→上移3→y=2(x-1)²+302路径二（先上下后左右）y=2x²→上移3→y=2x²+3→右移1→y=2(x-1)²+303两条路径的最终图象完全相同对称轴x=1，顶点(1,3)，开口向上04结论水平与竖直平移相互独立，平移顺序不影响结果，可根据习惯选择CONSOLIDATION巩固：y=2(x+3)²−1的平移分析y=2(x+3)²−1综合运用了"左加右减"和"上加下减"两条规律：括号内+3表示左移3个单位，括号外−1表示下移1个单位，顶点从(0,0)变为(−3,−1)。01平移路径y=2x²先向左平移3个单位、再向下平移1个单位得到目标函数，体现了水平与竖直方向的连续变换过程。y=2x²→y=2(x+3)²−102图形特征对称轴x=−3，顶点坐标(−3,−1)，开口向上且形状与y=2x²相同，仅位置发生平移变换。(−3,−1)03增减规律当x<−3时，y随x增大而减小；当x>−3时，y随x增大而增大。顶点处取得最小值。ymin=−104核心口诀括号内"左加右减"控制水平移动方向，括号外"上加下减"控制竖直移动方向，两者独立作用。左加右减·上加下减TRANSFORMATION抛物线平移的一般规律抛物线y=a(x-h)²+k可由y=ax²经过水平平移|h|个单位和竖直平移|k|个单位得到。h>0右移、h<0左移，k>0上移、k<0下移。平移前后抛物线的形状、大小、开口方向完全不变，仅位置发生变化。水平平移（x方向）y=ax²→y=a(x-h)²沿x轴平移|h|个单位h>0右移h个单位h<0时向左平移|h|个单位简记口诀：「左加右减」括号内加则左移，减则右移竖直平移（y方向）y=a(x-h)²→y=a(x-h)²+k沿y轴平移|k|个单位k>0上移k个单位k<0时向下平移|k|个单位简记口诀：「上加下减」括号外加则上移，减则下移CHAPTER04性质总结与画图方法系统归纳y=a(x-h)²+k的图象性质，掌握标准画图步骤QUADRATICFUNCTION·PROPERTIESy=a(x-h)²+k的性质（a>0）当a>0时，抛物线开口向上，顶点(h,k)为最低点；对称轴x=h将其分为递减与递增两个单调区间。开口方向a>0时抛物线开口向上，存在最低点a>0对称轴与顶点对称轴x=h，顶点(h,k)为抛物线最低点(h,k)增减性x<h递减，x>h递增，两侧单调性相反减→增最值x=h时y取最小值，最小值等于kminymin=k开口大小|a|越大开口越小越窄，|a|越小开口越大越宽|a|QUADRATICFUNCTIONy=a(x-h)²+k的性质（a<0）当a<0时，抛物线y=a(x-h)²+k开口向下，顶点(h,k)为最高点。对称轴仍为x=h，但增减性与a>0时完全相反：左侧递增、右侧递减，x=h处取得最大值k。a的正负仅影响开口和增减性方向。01开口方向开口向下，抛物线存在最高点，图像呈倒U形分布向下02对称轴与顶点对称轴为直线x=h，顶点坐标(h,k)，顶点为函数图像的最高点(h,k)03增减性x<h时，y随x增大而增大（递增）；x>h时，y随x增大而减小（递减）递增→递减04最值当x=h时，y取得最大值，y的最大值=k，无最小值maxymax=k05与a>0对照开口方向相反、增减性相反，但对称轴和顶点坐标表达式相同方向相反QuadraticFunctionProperties性质对照表：a>0与a<0的比较通过表格对照，a>0与a<0两种情况的对称轴和顶点坐标表达式完全相同，差异仅体现在开口方向、增减性和最值类型三个方面，a的正负是决定这三项差异的唯一因素。y=a(x−h)²+k性质对照表性质a>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标(h,k)(h,k)顶点类型最低点最高点x<h时y随x增大而减小y随x增大而增大x>h时y随x增大而增大y随x增大而减小最值x=h时，y最小=kx=h时，y最大=ka的正负决定开口方向、增减性和最值类型，对称轴和顶点坐标与a的正负无关三步法·ThreeSteps画y=a(x-h)²+k图象的标准步骤画y=a(x-h)²+k的图象采用"三步法"：先确定对称轴和顶点、再列表描点画出一侧、最后利用对称性补全另一侧。这种方法充分利用了抛物线的对称性质，比逐点描画更高效、更准确。01Locate确定对称轴与顶点确定对称轴x=h和顶点坐标(h,k)，在坐标系中画出对称轴虚线并描出顶点。x=h·(h,k)02Plot列表描点画右侧自变量x从顶点横坐标h开始向右取值，计算对应y值，描点连线画出右侧图象。x≥h03Mirror对称补全左侧利用抛物线关于对称轴x=h的对称性，在对称轴左侧描出对称点，连线完成左侧图象。x<h三步画图法·完整演示画图演示：y=-(x-2)²+3以y=-(x-2)²+3为例完整演示三步画图法：a=-1<0开口向下，对称轴x=2，顶点(2,3)。从顶点向右取值列表、描点连线后，利用对称性补全左侧，即可画出完整的抛物线。STEP01定位确定a=-1<0，开口向下对称轴：直线x=2顶点坐标：(2,3)(2,3)STEP02列表描点（右侧）xy=-(x-2)²+323324-15-6从顶点横坐标x=2开始向右取值计算STEP03对称补全（左侧）利用关于x=2的对称性，描出左侧对称点(1,2)、(0,-1)、(-1,-6)连接所有点画出光滑抛物线，标注开口方向和顶点(1,2)(0,-1)(-1,-6)CHAPTER05例题精讲与课堂练习通过典型例题和练习，灵活运用平移规律与图象性质解题二次函数·顶点式画图例4：画y=½(x+2)²−1的图象本题要求用三步法画出y=½(x+2)²-1的图象。从顶点式可直接读出a=½>0开口向上、对称轴x=-2、顶点(-2,-1)，然后列表描点并利用对称性完成画图。01·分析与定位a=½>0，抛物线开口向上对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1)开口向上02·列表取值xy−2−1−1−½0113.527从顶点横坐标x=−2开始向右取值03·描点画图在坐标系中描出顶点和右侧各点，连线画出右半部分利用关于x=−2的对称性描出左侧对应点，完成完整图象对称完成QUADRATICFUNCTION·EXAMPLE05例5：用顶点式求二次函数表达式已知顶点坐标时，直接设顶点式y=a(x-h)²+k最为简便。将顶点(-2,1)代入得y=a(x+2)²+1，再利用经过点(0,4)的条件求出a=¾，即可得到完整的函数表达式。01已知条件：抛物线顶点坐标为(-2,1)，且与y轴交于点(0,4)(-2,1)·(0,4)02解题思路：已知顶点→设顶点式y=a(x-h)²+k→代入已知点求a03代入求解：设y=a(x+2)²+1，将(0,4)代入：4=a(0+2)²+1，解得a=¾a=¾04最终结果：所求二次函数表达式为y=¾(x+2)²+1，展开可得一般式y=¾x²+3x+4y=¾x²+3x+4EXERCISE01课堂练习1：水平平移方向判断本题考查y=ax²到y=a(x-h)²的水平平移方向判断。括号内为+6，根据"左加右减"规律可知是向左平移6个单位，答案为C。题目将抛物线y=x²平移得到y=(x+6)²，平移方法是（）选项A.向上平移6个单位B.向下平移6个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位分析对比y=x²与y=(x+6)²，括号内加了6，根据"左加右减"规律→向左平移6个单位答案C注意区分：括号内加减控制左右平移，括号外加减控制上下平移Practice课堂练习2：由平移后顶点求表达式已知原函数y=4(x-5)²的顶点为(5,0)，平移后顶点为(3,0)，横坐标减小2说明左移2个单位。直接代入新顶点可得y=4(x-3)²，答案为A。01题目将y=4(x−5)²平移后顶点为(3,0)，求平移后的抛物线表达式。Question02选项A.y=4(x−3)²B.y=4(x+3)²C.y=4(x−2)²D.y=4(x−8)²Options03分析原顶点(5,0)→新顶点(3,0)，横坐标5→3，说明向左平移2个单位。Analysis04答案平移不改变a值（形状不变），新顶点直接代入顶点式即可。Ay=4(x−3)²AnswerEXERCISE·二次函数课堂练习3：判断平移过程比较y=8(x-7)²与y=8(x-3)²的顶点坐标：原顶点(7,0)→新顶点(3,0)，横坐标差为7-3=4，方向为由大变小即向左，因此是向左平移4个单位。答案为A。01PROBLEM将y=8(x−7)²平移得到y=8(x−3)²，下列说法正确的是（）02OPTIONSA.向左平移4个单位B.向左平移3个单位C.向右平移4个单位D.向右平移3个单位03ANALYSIS原顶点(7,0)→新顶点(3,0)，横坐标7→3，差值为4且减小→向左平移4个单位DISTANCE4UNITSLEFT04ANSWER选A平移距离=|原顶点横坐标−新顶点横坐标|，方向由差值正负决定课堂练习·二次函数课堂练习4：性质判断综合分析y=-2(x-m)²中a=-2<0开口向下，对称轴x=m，顶点(m,0)。需注意顶点横坐标是参数m而非常数，当m值不确定时顶点位置不固定，但开口方向和增减性规律与m无关。A·正确开口向下a=-2<0，二次项系数为负，抛物线开口向下。B·正确对称轴x=m由顶点式y=a(x-m)²直接读出对称轴方程。C·不正确顶点坐标(m,0)顶点为(m,0)而非原点，若选项说顶点在原点则不正确。D·正确x<m时y递增a<0时抛物线左侧递增，x<m时y随x增大而增大。Exercise05课堂练习5：综合填空本题要求从y=-(x+3)²+2的表达式中完整读出所有性质：开口向下、对称轴x=-3、顶点(-3,2)、增减性和最值，并判断其由y=-x²平移得到的具体过程。性质填空01开口方向：向下（a=−1<0）02对称轴与顶点：对称轴为直线x=−3；顶点坐标为(−3,2)03增减性与最值：当x<−3时，y随x增大而增大；x=−3时y取最大值2平移分析01平移过程：y=−(x+3)²+2由y=−x²先向左平移3个单位、再向上平移2个单位得到口诀记忆：左加右减（x+3表示左移3），上加下减（+2表示上移2）02验证：y=−x²的顶点(0,0)→左移3到(−3,0)→上移2到(−3,2)，与顶点坐标一致平移不改变抛物线形状，只改变位置，a值保持不变EXTENSION·拓展方法一般式转化为顶点式（配方法）当二次函数以一般式y=ax²+bx+c给出时，需通过配方法转化为顶点式y=a(x-h)²+k才能直接读出顶点坐标和对称轴。Example·配方实例将y=x²−4x+3转化为顶点式Step1·识别系数a=1，b=−4，c=3Step2·配方过程y=x²−4x+4−4+3y=(x−2)²−1Resulty=(x−2)²−1Vertex·顶点(2,−1)Axis·对称轴x=2Direction·开口向上↑GeneralFormula·一般公式y=ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+(4ac−b²)/4ah（顶点横坐标）h=−b/2ak（顶点纵坐标）k=(4ac−b²)/4a二次函数平移拓展：先配方再平移的综合题对于以一般式给出的二次函数，需要先通过配方法转化为顶点式，确定原顶点坐标后，再根据平移方向和距离计算新顶点坐标，最后写出平移后的函数表达式。01题目将y=2x²−8x+5向右平移3个单位、再向下平移2个单位，求平移后的表达式。02第一步·配方y=