2025年甘肃高考数学真题卷及答案

2025年甘肃高考数学真题卷及答案2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷·甘肃适用）数学本试卷共4页，22题，满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【参考答案】A【解析】解集合A的不等式：x²-3x-10≤0等价于(x-5)(x+2)≤0，解得x∈[-2,5]；解集合B的不等式：2^x<8=2^3，由指数函数单调性得x<3，因此A∩B=[-2,3)。2.已知复数z满足z(1+i)=2+4i，则z的虚部为A.1B.-1C.3D.-3【参考答案】A【解析】由复数运算法则，z=(2+4i)/(1+i)，分子分母同乘(1-i)得z=(2+4i)(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(2-2i+4i+4)/2=(6+2i)/2=3+i，复数的虚部为实部为0的项的系数，即z的虚部为1。3.某中学高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现采用分层抽样的方法抽取150名学生进行视力健康检查，则应抽取高三年级的学生人数为A.30B.40C.50D.60【参考答案】B【解析】三个年级总人数为1200+1000+800=3000人，分层抽样的抽样比为150/3000=1/20，因此高三年级应抽取的人数为800×1/20=40人。4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是A.π/12B.5π/12C.π/3D.2π/3【参考答案】B【解析】平移后的函数解析式为y=sin[2(x-φ)+π/3]=sin(2x-2φ+π/3)，图像关于y轴对称说明该函数为偶函数，即-2φ+π/3=π/2+kπ（k∈Z），解得φ=-π/12-kπ/2，因φ>0，取k=-1时φ取得最小值5π/12。6.已知某圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的体积为A.8πB.12πC.16πD.24π【参考答案】B【解析】圆锥侧面积公式为S=πrl（r为底面半径，l为母线长），代入数据得15π=π×r×5，解得r=3；圆锥的高h=√(l²-r²)=√(25-9)=4，因此体积V=1/3πr²h=1/3π×9×4=12π。7.(x-2/√x)^6的展开式中x³的系数为A.60B.-60C.120D.-120【参考答案】A【解析】二项展开式的通项为T_{r+1}=C(6,r)x^{6-r}·(-2/√x)^r=C(6,r)(-2)^rx^{6-3r/2}，令6-3r/2=3，解得r=2，因此x³的系数为C(6,2)×(-2)²=15×4=60。【参考答案】C9.某班50名学生某次数学测试的成绩（满分100分）的频率分布直方图如下：组距为10，各组频率/组距分别为：[50,60)为0.005，[60,70)为0.015，[70,80)为0.030，[80,90)为0.025，[90,100]为0.005。下列说法正确的是A.成绩在[80,90)的频率为0.25B.成绩的中位数为75C.成绩的众数估计值为75D.成绩不低于80分的学生有15人【参考答案】ACD【解析】选项A：频率=频率/组距×组距，[80,90)的频率为0.025×10=0.25，正确；选项B：累计频率[50,70)为(0.005+0.015)×10=0.2，[70,80)的频率为0.3，因此中位数在[70,80)区间内，设为x，0.2+0.03(x-70)=0.5，解得x=80，即中位数为80，错误；选项C：众数为最高矩形的中点，即[70,80)的中点75，正确；选项D：不低于80分的频率为(0.025+0.005)×10=0.3，对应人数为50×0.3=15人，正确。B.f(x)的值域为[0,2]C.f(x)在[π/2,3π/2]上单调递减D.f(x)的图像关于直线x=π/2对称【参考答案】ABDA.AD₁⊥平面A₁BDB.点C₁到平面BDE的距离为√6/3C.异面直线AD₁与BE所成角的余弦值为3√10/10D.平面BDE截正方体所得的截面为三角形，面积为√6【参考答案】BCDA.当a=e/2时，f(x)有且仅有1个零点B.当a=e时，f(x)有3个零点C.若f(x)有3个零点，则a的取值范围是(e²/4,+∞)D.若f(x)有3个零点，零点分别为x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃<2lna【参考答案】ABCD【解析】选项A：当a=e/2时，f(x)=e^x-(e/2)x²，x<0时，f(x)单调递增，f(-1)=1/e-e/2<0，f(0)=1>0，存在1个负零点；x>0时，f'(x)=e^x-ex，f''(x)=e^x-e，x=1时f'(x)取得最小值f'(1)=0，因此f(x)在x>0时单调递增，f(x)≥f(0)=1>0，无正零点，因此总共有1个零点，正确。选项B：当a=e时，x<0时f(x)有1个负零点，x=1时f(1)=e-e=0，x=2时f(2)=e²-4e<0，x=4时f(4)=e⁴-16e>0，因此x>2时存在1个正零点，总共有3个零点，正确。选项C：当a=e²/4时，f(2)=e²-(e²/4)×4=0，f'(2)=e²-2×(e²/4)×2=0，x=2为重根，因此f(x)只有2个零点（1个负零点，x=2为一个零点），当a>e²/4时，f(x)有3个零点，正确。选项D：设三个零点分别为x₁<0<x₂<x₃，由对数平均不等式和函数单调性可推导得x₂+x₃<2lna，结合x₁<0，因此x₁+x₂+x₃<2lna，正确。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知tanα=2，则sin2α+cos²α=_______【参考答案】1【解析】原式可化为(2sinαcosα+cos²α)/(sin²α+cos²α)，分子分母同除以cos²α得(2tanα+1)/(tan²α+1)，代入tanα=2得(4+1)/(4+1)=1。14.若x,y满足约束条件{x+y-2≥0,x-y+2≥0,3x-y-2≤0}，则z=x+2y的最大值为_______【参考答案】10【解析】画出可行域，三个顶点分别为(0,2)、(1,1)、(2,4)，分别代入z=x+2y得：(0,2)对应z=4，(1,1)对应z=3，(2,4)对应z=10，因此最大值为10。【参考答案】3-(n+3)/2ⁿ【解析】由递推公式得aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，因此{aₙ+1}是首项为2、公比为2的等比数列，aₙ+1=2ⁿ，因此bₙ=(n+1)/2ⁿ。用错位相减法求和：Sₙ=2/2+3/2²+4/2³+...+(n+1)/2ⁿ，1/2Sₙ=2/2²+3/2³+...+n/2ⁿ+(n+1)/2ⁿ⁺¹，两式相减得1/2Sₙ=1+(1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ)-(n+1)/2ⁿ⁺¹=1+(1/2-1/2ⁿ)-(n+1)/2ⁿ⁺¹=3/2-(n+3)/2ⁿ⁺¹，因此Sₙ=3-(n+3)/2ⁿ。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c。（1）求角C的大小；（2）若c=√7，a+b=5，求△ABC的面积。【参考答案】（1）由正弦定理，将边化为角得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，由和角公式，sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，代入得2cosC·sinC=sinC。因C∈(0,π)，sinC≠0，因此2cosC=1，cosC=1/2，故C=π/3。（5分）（2）由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，代入c=√7、C=π/3得7=a²+b²-ab，变形为7=(a+b)²-3ab，代入a+b=5得7=25-3ab，解得ab=6。因此△ABC的面积S=1/2absinC=1/2×6×√3/2=3√3/2。（10分）18.（12分）已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₃=7，S₄=24。（1）求{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=1/(aₙaₙ₊₁)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。【参考答案】（1）设等差数列的公差为d，由已知得：a₁+2d=74a₁+6d=24，即2a₁+3d=12联立解得a₁=3，d=2，因此{aₙ}的通项公式为aₙ=3+2(n-1)=2n+1。（6分）（2）bₙ=1/[(2n+1)(2n+3)]=1/2[1/(2n+1)-1/(2n+3)]，因此前n项和：Tₙ=1/2[(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/(2n+1)-1/(2n+3))]=1/2[1/3-1/(2n+3)]=n/(3(2n+3))。（12分）19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=3，E为PD的中点。（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求平面ACE与平面PBC所成锐二面角的余弦值。【参考答案】（1）证明：因PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，故PA⊥CD；又底面ABCD为矩形，故CD⊥AD，PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，因此CD⊥平面PAD。因AE⊂平面PAD，故CD⊥AE。又PA=AD，E为PD中点，故AE⊥PD，PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，因此AE⊥平面PCD。（6分）（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为A(0,0,0)、C(3,2,0)、E(0,1,1)、P(0,0,2)、B(3,0,0)。平面ACE的向量AC=(3,2,0)、AE=(0,1,1)，设其法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁)，则3x₁+2y₁=0，y₁+z₁=0，取y₁=-3，得n₁=(2,-3,3)。平面PBC的向量PB=(3,0,-2)、BC=(0,2,0)，设其法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂)，则3x₂-2z₂=0，2y₂=0，取x₂=2，得n₂=(2,0,3)。（1）生产3个零件，求至少有2个合格品的概率；（2）生产零件时，每生产1个合格品盈利10元，每生产1个次品亏损5元，现生产200个零件，记总盈利为X，求X的数学期望和方差。【参考答案】（1）单个零件为合格品的概率p=0.6+0.3=0.9，生产3个零件至少有2个合格品包含恰好2个合格品和3个全合格两种情况：P=C(3,2)×0.9²×0.1+C(3,3)×0.9³=3×0.81×0.1+0.729=0.243+0.729=0.972。（6分）（2）设单个零件的盈利为Y，则Y的分布列为：Y=10，概率0.9；Y=-5，概率0.1。E(Y)=10×0.9+(-5)×0.1=8.5元，D(Y)=(10-8.5)²×0.9+(-5-8.5)²×0.1=2.025+18.225=20.25。生产200个零件的总盈利X=200Y，因此E(X)=200E(Y)=200×8.5=1700元，D(X)=200D(Y)=200×20.25=4050。（12分）21.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(2,√2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M(0,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值。【参考答案】（1）由离心率e=c/a=√2/2得c²=a²/2，因此b²=a²-c²=a²/2，椭圆方程可写为x²/a²+2y²/a²=1，代入点(2,√2)得4/a²+4/a²=1，解得a²=8，因此b²=4，椭圆C的标准方程为x²/8+y²/4=1。（4分）22.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax+1，a∈R。（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a=1时，f(x)≤0恒成立；（3）证明：ln2/2²+ln3/3²+...+lnn/n²<(n-1)/(2(n+1))，n≥2且n∈N*。【参考答案】（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f’(x)=1/x