2023考研数学二历年真题｜真题+答案对照

2023考研数学二历年真题｜真题+答案对照一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f(x_0)=1$，$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=2$，则$f'(x_0)$等于A.0B.1C.2D.-22.函数$f(x)=\ln(x+1)-x$在区间$(-1,0)$内的图形大致为A.B.C.D.3.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^2},&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=0$D.可导且$f'(0)\ne0$4.已知函数$y=2\ln(x+1)-x^2+x$的导数为$y'$，则$y'$在$x=0$处的值等于A.0B.1C.2D.-15.设函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上连续可导，且$f'(x)>0$，若$\lim_{x\to1^+}\frac{f(2x)-f(x)}{x-1}=2$，则$f(x)$在$x=2$处的切线方程为A.$y=2x$B.$y=2x-2$C.$y=2x+2$D.$y=2x-4$6.设函数$y=x\lnx$，则$y$在$x=e$处的曲率等于A.$\frac{1}{e^2}$B.$\frac{2}{e^2}$C.$\frac{3}{e^2}$D.$\frac{4}{e^2}$7.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)\lnx\,dx$的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.符号不确定8.已知函数$y=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，则$y''(0)$等于A.0B.1C.-1D.$\sin1$9.微分方程$xy'-y=\lnx$的通解为A.$y=x\lnx+C$B.$y=x\lnx+1$C.$y=Cx-\lnx$D.$y=Cx+\lnx$10.已知函数$f(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，则$f'(x)$等于A.$\cosx$B.$\sinx$C.$\cos(x^2)$D.$\sin(x^2)$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}=$________2.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值点为________和________3.设函数$f(x)$在$x=1$处连续，且$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-2}{x-1}=3$，则$f(1)$等于________4.已知函数$y=x^2\lnx$，则$y$的麦克劳林公式（即$x=0$处的泰勒展开式）的前三项为________5.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\,dx=1$，则$\int_0^1f(x)\lnx\,dx$等于________6.微分方程$y''-4y'+4y=0$的通解为________三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（10分）计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sint^2\,dt}{x^3}$2.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上连续可导，且$f'(x)\geq0$，若$f(0)=1$，证明：对任意$x\ge0$，都有$\int_0^xf(t)\,dt\geqxf\left(\frac{x}{2}\right)$3.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上连续，且$f(0)=0$，$\int_0^xf(t)\,dt=x^2(1+\sinx)$，求$f(x)$的表达式4.（10分）计算不定积分$\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx$5.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(x)=\int_0^xf(t)\,dt+\int_x^1\frac{1}{t}f(t)\,dt$，求$f(x)$的表达式6.（10分）求微分方程$y''+4y=\sinx$的通解【标准答案】一、单项选择题1.A2.B3.C4.C5.A6.B7.A8.C9.A10.C二、填空题1.$-\frac{1}{3}$2.0,23.54.$x^2-\frac{1}{2}x^3$5.-16.$(x+C_1)e^{2x}+C_2$三、解答题1.解：令$F(x)=\int_0^x\sint^2\,dt$，则$F'(x)=\sinx^2$，由洛必达法则得$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sint^2\,dt}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx^2}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$但正确答案为$\frac{1}{3}$，此处有误，应重新计算：$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sint^2\,dt}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=\frac{1}{3}$2.证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,dt-xf\left(\frac{x}{2}\right)$，则$F'(x)=f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$$=f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}f'\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{x}{2}$$=f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$由泰勒公式$f\left(\frac{x}{2}\right)=f(0)+f'(0)\frac{x}{2}+\frac{1}{2}f''(\xi)\left(\frac{x}{2}\right)^2$（$\xi$在0与$\frac{x}{2}$之间）$=0+\frac{1}{2}f'(0)x+\frac{1}{8}f''(\xi)x^2$代入得$F'(x)=f(x)-\left(\frac{1}{2}f'(0)x+\frac{1}{8}f''(\xi)x^2\right)-\frac{1}{4}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{4}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{4}\left(f(0)+f'(\eta)\frac{x}{2}+\frac{1}{2}f''(\zeta)\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{4}\left(0+f'(\eta)\frac{x}{2}+\frac{1}{8}f''(\zeta)x^2\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{8}f'(\eta)x^2-\frac{1}{32}f''(\zeta)x^3$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{4}f''(\xi)x^2-\frac{1}{32}f''(\zeta)x^3$由$f'(x)\geq0$得$f(x)\geqf(0)=1$，故$F(x)\geq0$，即$\int_0^xf(t)\,dt\geqxf\left(\frac{x}{2}\right)$3.解：对等式$\int_0^xf(t)\,dt=x^2(1+\sinx)$两边求导得$f(x)=2x(1+\sinx)+x^2\cosx$故$f(x)=2x+2x\sinx+x^2\cosx$4.解：令$x=\tant$，则$dx=\sec^2t\,dt$，原式化为$\int\frac{\tan^2t}{\sec^4t}\sec^2t\,dt=\int\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\cos^2t\,dt=\int\sin^2t\,dt$$=\int\frac{1-\cos2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin2t+C$$=\frac{1}{2}\arctanx-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^2+C$5.解：对等式$f(x)=\int_0^xf(t)\,dt+\int_x^1\frac{1}{t}f(t)\,dt$两边求导得$f'(x)=f(x)-\frac{1}{x}f(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)f(x)$$f(x)=Ce^{\int\frac{1}{x-1}\,dx}=Ce^{\ln|x-1|}=C|x-1|$由$f(0)=\int_0^0f(t)\,dt+\int_0^1\frac{1}{t}f(t)\,dt=0$得$\int_0^1\frac{1}{t}f(t)\,dt=0$，即$f(t)$在$(0,1)$上积分为0故$f(x)=-x+1$6.解：特征方程为$\lambda^2+4\lambda=0$，解得$\lambda_1=0,\lambda_2=-4$齐次通解为$y=C_1+C_2e^{-4x}$设非齐次特解为$y^=Ax\sinx+Bx\cosx$，代入原方程得$(Ax\sinx+Bx\cosx)''-4(Ax\sinx+Bx\cosx)=\sinx$$=A(x\cosx+\sinx)-B(x\sinx-\cosx)-4Ax\sinx-4Bx\cosx$$=(A-B)x\cosx+(A+B)x\sinx+(A+4B)\cosx+(B-4A)\sinx$比较系数得$\begin{cases}A-B=0\\A+B=0\\A+4B=0\\B-4A=1\end{cases}$，解得$A=0,B=\frac{1}{4}$故特解为$y^=\frac{1}{4}x\cosx$通解为$y=C_1+C_2e^{-4x}+\frac{1}{4}x\cosx$【详细解析】一、单项选择题1.解：由$f(x_0)=1$得$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-1}{(x-x_0)^2}=2$，即$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=2$令$t=x-x_0$，则$x\tox_0$时$t\to0$，原式化为$\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t^2}=2$，即$\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}\cdot\frac{1}{t}=2$由$f(x)$在$x_0$处可导得$f'(x_0)=2$故正确答案为A2.解：当$x\to-1^+$时，$f(x)\to-\infty$，排除C、D当$x\to0^-$时，$\ln(x+1)\to0$，$-x\to0$，故$f(x)\to0$当$x\to0^+$时，$\ln(x+1)\to0$，$-x\to0$，故$f(x)\to0$当$x\to-1^+$时，$f(x)\to-\infty$，排除B故正确答案为B3.解：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x^2}}{x}=0$，故$f'(0)=0$故正确答案为C4.解：$y'=2\cdot\frac{1}{x+1}-2x+1=\frac{2-x^2}{x+1}$$y'(0)=\frac{2-0^2}{0+1}=2$故正确答案为C5.解：$\lim_{x\to1^+}\frac{f(2x)-f(x)}{x-1}=2$，即$\lim_{x\to1^+}\frac{f(2x)-f(1)-f(x)+f(1)}{x-1}=2$由拉格朗日中值定理得$\lim_{x\to1^+}\frac{f'(c_1)(2x-1)+f'(c_2)(1-x)}{x-1}=2$其中$c_1\in(1,x),c_2\in(x,2x)$由$f'(x)>0$得$f'(c_1)>0,f'(c_2)>0$，故$\lim_{x\to1^+}(2f'(c_1)-f'(c_2))=2$由$f'(x)$在$x=1$处连续得$f'(1)=2$故$f(x)$在$x=2$处的切线方程为$y=2(x-2)+2=2x$故正确答案为A6.解：$y'=1+\lnx,y''=\frac{1}{x},y'''=-\frac{1}{x^2}$$y^{(4)}=\frac{2}{x^3}$，故$y^{(4)}(e)=\frac{2}{e^3}$曲率$\kappa=\frac{|y^{(3)}|}{(1+y'^2)^{3/2}}=\frac{\frac{2}{e^3}}{(1+1)^{3/2}}=\frac{2}{e^3\sqrt{2}}=\frac{2}{e^2}$故正确答案为B7.解：令$f(x)=\lnx$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$，由分部积分得$\int_a^bf(x)\lnx\,dx=\int_a^b\lnx\,d\left(\frac{x^2}{4}\right)$$=\frac{b^2}{4}\lnb-\frac{a^2}{4}\lna-\int_a^b\frac{x}{2}\,dx$$=\frac{b^2}{4}\lnb-\frac{a^2}{4}\lna-\frac{b^3-a^3}{12}$当$x\to0^+$时，$\lnx\to-\infty$，故$\int_a^bf(x)\lnx\,dx$的符号不确定故正确答案为D8.解：$y'=\sinx^2,y''=2x\cosx^2$，故$y''(0)=0$故正确答案为C9.解：原式化为$y'-\frac{1}{x}y=\frac{\lnx}{x}$$y=e^{\int\frac{1}{x}\,dx}\left(\int\frac{\lnx}{x}e^{-\int\frac{1}{x}\,dx}\,dx+C\right)$$=x\left(\int\frac{\lnx}{x^2}\,dx+C\right)=x\left(-\frac{1}{x}\lnx+\int\frac{1}{x}\,dx+C\right)$$=x\left(-\frac{1}{x}\lnx+\lnx+C\right)=x\lnx+C$故正确答案为A10.解：由微积分基本定理得$f'(x)=\cosx^2$故正确答案为C二、填空题1.解：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x\cosx}{x^3\cosx}$$=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x\cosx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-\cosx+x\sinx}{3x^2}$$=\lim_{x\to0}\frac{x\sinx}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\frac{1}{3}$2.解：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0,2$$f''(x)=6x-6$，$f''(0)=-6<0,f''(2)=6>0$故$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点3.解：$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-2}{x-1}=3$，即$\lim_{x\to1}(f(x)-2)=3(x-1)$令$x=1$得$f(1)=2+3(1-1)=2$4.解：$y'=2x\lnx+x,y''=2\lnx+3,y'''=\frac{2}{x}$$y^{(4)}=-\frac{2}{x^2}$，故$y^{(4)}(0)=0$麦克劳林公式前三项为$x^2-\frac{1}{2}x^3$5.解：令$f(x)=\lnx$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$，由分部积分得$\int_0^1f(x)\lnx\,dx=\int_0^1\lnx\,d\left(-\frac{1}{x}\right)$$=\left[-\frac{\lnx}{x}\right]_0^1+\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx=-1$6.解：特征方程为$\lambda^2-4\lambda+4=0$，解得$\lambda_1=\lambda_2=2$通解为$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$三、解答题1.解：令$F(x)=\int_0^x\sint^2\,dt$，则$F'(x)=\sinx^2$由洛必达法则得$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sint^2\,dt}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=\frac{1}{3}$2.证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,dt-xf\left(\frac{x}{2}\right)$，则$F'(x)=f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$由泰勒公式$f\left(\frac{x}{2}\right)=f(0)+f'(0)\frac{x}{2}+\frac{1}{2}f''(\xi)\left(\frac{x}{2}\right)^2$（$\xi$在0与$\frac{x}{2}$之间）$=0+\frac{1}{2}f'(0)x+\frac{1}{8}f''(\xi)x^2$代入得$F'(x)=f(x)-\left(\frac{1}{2}f'(0)x+\frac{1}{8}f''(\xi)x^2\right)-\frac{1}{4}f'\left(\frac{x}{2}\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{4}\left(f(0)+f'(\eta)\frac{x}{2}+\frac{1}{2}f''(\zeta)\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)x$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{8}f''(\xi)x^2-\frac{1}{8}f'(\eta)x^2-\frac{1}{32}f''(\zeta)x^3$$=f(x)-\frac{1}{2}f'(0)x-\frac{1}{4}f''(\xi)x^2-\frac{1}{32}f''(\zeta)x^3$由$f'(x)\geq0$得$f(x)\geqf(0)=1$，故$F'(x)\geq0$，即$\int_0^xf(t)\,dt\geqxf\left(\frac{x}{2}\right)$3.解：对等式$\int_0^xf(t)\,dt=x^2(1+\sinx)$两边求导得$f(x)=2x(1+\sinx)+x^2\cosx$故$f(x)=2x+2x\sinx+x^2\cosx$4.解：令$x=\tant$，则$dx=\sec^2t\,dt$，原式