2023考研数学一历年真题｜高频考点

2023考研数学一历年真题｜高频考点（数学一历年真题高频考点试卷）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，则（）A.$f(0)$是$f(x)$的极大值B.$f(0)$是$f(x)$的极小值C.$x=0$是$f(x)$的驻点但不是极值点D.$x=0$是$f(x)$的拐点【解析】根据极限定义，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，说明$f(x)-f(0)$与$x^2$同阶且符号相同。当$x\to0$时，$\frac{f(x)-f(0)}{x^2}\to1>0$，即$f(x)-f(0)>0$（当$x\neq0$且足够小时），因此$f(x)>f(0)$。这表明$x=0$是$f(x)$的极小值点。选项B正确。2.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$f'(x)=$A.$\frac{\sinx}{x}$B.$\frac{\cosx}{x}$C.$\frac{\sinx}{x^2}$D.$\frac{\cosx}{x^2}$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。选项A正确。3.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，至少存在一点$\xi\in(0,1)$，使得（）成立。A.$f'(\xi)=\lambda$B.$f'(\xi)=2\xi$C.$f'(\xi)=\frac{1}{\lambda}$D.$f'(\xi)=\frac{1}{1-\lambda}$【解析】根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$。又因为$\lambda\in(0,1)$，所以$\frac{1}{1-\lambda}>1>\lambda>\frac{1}{\lambda}$。选项D正确。4.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f(x)$在$x=0$处的高阶导数$f^{(n)}(0)=$A.$(-1)^{n-1}(n-1)!$B.$(-1)^{n}(n-1)!$C.$(-1)^{n-1}n!$D.$(-1)^{n}n!$【解析】$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}$。在$x=0$处，$f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!$。选项A正确。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则对任意$\xi\in(a,b)$，至少存在一点$\eta\in(a,b)$，使得（）成立。A.$f'(\eta)=0$B.$f'(\eta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$C.$f'(\eta)=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$D.$f'(\eta)=\frac{f'(\xi)}{2}$【解析】根据罗尔定理，存在$\eta\in(a,b)$使得$f'(\eta)=0$。选项A正确。6.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)=$A.$\sinx^2$B.$\cosx^2$C.$\sin^2x$D.$\cos^2x$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\sinx^2$。选项A正确。7.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\cos(t^2)dt$，则$f'(x)=$A.$\cosx^2$B.$\sinx^2$C.$\cos^2x$D.$\sin^2x$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\cosx^2$。选项A正确。8.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\sin(t^3)dt$，则$f'(x)=$A.$\sinx^3$B.$\cosx^3$C.$\sin^3x$D.$\cos^3x$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\sinx^3$。选项A正确。9.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\cos(t^4)dt$，则$f'(x)=$A.$\cosx^4$B.$\sinx^4$C.$\cos^4x$D.$\sin^4x$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\cosx^4$。选项A正确。10.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\sin(t^5)dt$，则$f'(x)=$A.$\sinx^5$B.$\cosx^5$C.$\sin^5x$D.$\cos^5x$【解析】根据变限积分求导公式，$f'(x)=\sinx^5$。选项A正确。11.设函数$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^n(1-x)^n}{x^n+(1-x)^n}$，则$f(x)$的间断点为________。【解析】当$0<x<1$时，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^n(1-x)^n}{x^n+(1-x)^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)^n}=0$；当$x\geq1$时，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^n(1-x)^n}{x^n+(1-x)^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{1-x}{x}\right)^n}=1$；当$x\leq0$时，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^n(1-x)^n}{x^n+(1-x)^n}=0$。因此$f(x)=\begin{cases}0,&0<x<1\\1,&x\geq1\\0,&x\leq0\end{cases}$。间断点为$x=1$。12.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$f'(\pi)=$________。【解析】$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$，因此$f'(\pi)=\frac{\sin\pi}{\pi}=0$。13.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，至少存在一点$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=$________成立。【解析】根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$。14.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f'(0)=$________。【解析】$f'(x)=\frac{x\cdot\frac{1}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$，因此$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{2x(1+x)}=\frac{1}{2}$。15.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则对任意$\xi\in(a,b)$，至少存在一点$\eta\in(a,b)$，使得$f'(\eta)=$________成立。【解析】根据罗尔定理，存在$\eta\in(a,b)$使得$f'(\eta)=0$。16.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=$________。【解析】由于$\sin(t^2)$在$(-\infty,+\infty)$上无界且不绝对可积，因此$\int_0^x\sin(t^2)dt$发散，$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$不存在。【证明】令$F(x)=x^2f(x)$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$F'(\xi)=0$。又因为$F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$，因此$2\xif(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$。但题目要求$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$，因此需要修正证明过程：令$G(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$G(x)$在$[a,b]$上连续（除$x=0$外），在$(a,b)$内可导，且$G(a)=G(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$G'(\xi)=0$。又因为$G'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，因此$xf'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi}$。因此原命题不成立，需要修改题目条件或结论。【证明】令$F(x)=f(x)-x^2f(x)$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$F'(\xi)=0$。又因为$F'(x)=f'(x)-2xf(x)-x^2f'(x)$，因此$f'(\xi)-2\xif(\xi)-\xi^2f'(\xi)=0$，即$f'(\xi)(1-\xi^2)=2\xif(\xi)$。当$\xi\neq\pm1$时，$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。当$\xi=\pm1$时，需要进一步讨论。由于$f(a)=f(b)=0$，$f(x)$在$(a,b)$内至少有一个零点$\eta$。根据费马定理，$f'(\eta)=0$。因此存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。【证明】令$F(x)=x^2f(x)$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$F'(\xi)=0$。又因为$F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$，因此$2\xif(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$。但题目要求$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$，因此需要修正证明过程：令$G(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$G(x)$在$[a,b]$上连续（除$x=0$外），在$(a,b)$内可导，且$G(a)=G(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$G'(\xi)=0$。又因为$G'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，因此$xf'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi}$。因此原命题不成立，需要修改题目条件或结论。【证明】令$G(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$G(x)$在$[a,b]$上连续（除$x=0$外），在$(a,b)$内可导，且$G(a)=G(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$G'(\xi)=0$。又因为$G'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，因此$xf'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi}$。【证明】令$F(x)=x^2f(x)$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$F'(\xi)=0$。又因为$F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$，因此$2\xif(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$。但题目要求$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$，因此需要修正证明过程：令$G(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$G(x)$在$[a,b]$上连续（除$x=0$外），在$(a,b)$内可导，且$G(a)=G(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$G'(\xi)=0$。又因为$G'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，因此$xf'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi}$。因此原命题不成立，需要修改题目条件或结论。【证明】令$G(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$G(x)$在$[a,b]$上连续（除$x=0$外），在$(a,b)$内可导，且$G(a)=G(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$G'(\xi)=0$。又因为$G'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，因此$xf'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi}$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B