蔡中兵《材料力学》4弯曲应力

第四章弯曲应力材料力学·蔡中兵Contents本章目录蔡中兵《材料力学》第四章·弯曲应力01对称弯曲的概念及梁的计算简图02梁的剪力和弯矩03剪力图和弯矩图04梁横截面上的正应力05梁横截面上的切应力06梁的合理设计CHAPTER01对称弯曲的概念及梁的计算简图弯曲变形特征、平面弯曲条件与支座/荷载简化MECHANICSOFMATERIALS弯曲的概念与对称弯曲弯曲是杆件在横向力作用下轴线由直变曲的变形。当梁具有纵对称面且外力均作用于该面内时，发生平面弯曲。受力与变形特征受力特点—外力（横向力或力偶）垂直于杆件的轴线作用变形特点—杆件的轴线由原来的直线变为曲线（挠曲线）工程定义—以弯曲变形为主的杆件统称为「梁」工程实例：吊车梁系统吊车梁在吊重荷载作用下产生弯曲变形，其计算简图可抽象为受集中力作用的简支梁模型。梁的支座反力、内力分布及挠度计算均需基于弯曲理论进行分析。对称弯曲的条件几何条件—梁的横截面必须具有至少一个纵对称平面受力条件—所有外荷载必须作用在纵对称平面内变形结果—挠曲线为该纵对称面内的平面曲线典型截面：工字钢纵对称面工字形截面关于腹板中垂面对称，该平面即为纵对称面。当横向荷载作用于此平面内时，梁发生平面弯曲，挠曲线位于该对称面内，此时弯曲问题可简化为平面问题进行分析。STRUCTURALMECHANICS梁的计算简图：支座与荷载将实际工程结构转化为力学计算简图，需准确识别支座的约束类型（固定端、固定铰、活动铰）并合理简化荷载形式（集中力、分布力、力偶），这是求解支反力和内力的基础。支座的三种基本形式SUPPORTTYPES01固定端—限制水平、垂直移动及转动，提供3个约束反力02固定铰支座—限制水平和垂直移动，允许转动，提供2个约束反力03活动铰支座—仅限制垂直支承面方向的移动，提供1个约束反力荷载的分类与简化LOADCLASSIFICATION01集中荷载—作用范围远小于杆件轴向尺寸的力（如车轮对桥梁的压力）02分布荷载—沿轴向连续分布的力，常用集度q表示（如自重、风载、水压）03集中力偶—作用在梁上的外力偶矩，直接引起弯矩的突变Chapter4·BendingStress静定梁的三种基本形式静定梁是指仅利用静力平衡方程即可确定全部支反力的梁。根据支座配置的不同，主要分为简支梁、外伸梁和悬臂梁三种基本形式，它们是复杂结构分析的基础单元。生活中的悬臂梁结构实例01简支梁：一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座，是桥梁和楼板最常见的力学模型02外伸梁：梁的一端或两端伸出支座之外，其伸出部分的受力分析需特别注意符号规定03悬臂梁：一端为固定端支座，另一端完全自由，常见于阳台、雨棚及机械悬臂结构04超静定梁概念：若支座约束数多于独立平衡方程数，则需引入变形协调条件求解CHAPTER02梁的剪力和弯矩截面法应用、内力分量定义与符号规定METHOD·截面法截面法求解梁的内力截面法是求解梁内力的基本方法。通过假想截开、取分离体、列平衡方程，可求出横截面上的剪力（FS）和弯矩（M），它们分别由横向力和外力偶矩平衡得到。STEP01·整体分析取整体为研究对象，利用静力平衡方程（∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0）求解支座反力。∑F=0·∑M=0STEP02·假想截开在需要求解内力的横截面处，假想将梁截开为左右两段，暴露截面内力。截面暴露STEP03·取分离体选取受力较简单的一段作为分离体，画出已知外力及截面上的未知内力（FS,M）。FS·MSTEP04·列平衡方程对分离体列平衡方程：由∑Fy=0求剪力FS，由∑Mc=0（对截面形心取矩）求弯矩M。∑Fy=0·∑Mc=0SignConvention内力符号的严格规定材料力学中内力的符号不依赖于坐标系，而是由变形趋势决定。这一规定保证了无论从左段还是右段计算，内力符号均一致。Positive·Shear正剪力(+)使dx微段产生"左端向上、右端向下"的相对错动，或使微段有顺时针转动趋势。这种变形模式下，截面内力方向与外力平衡，形成典型的剪切变形特征。Negative·Shear负剪力(−)使dx微段产生"左端向下、右端向上"的相对错动，或使微段有逆时针转动趋势。与正剪力形成对称的变形模式，共同构成完整的剪力符号体系。Positive·Moment正弯矩(+)使dx微段弯曲成"上凹下凸"形状，即梁的下半部纤维受拉、上半部受压。这种变形状态下，中性轴以上材料受压，以下材料受拉，形成典型的正弯矩分布。Negative·Moment负弯矩(−)使dx微段弯曲成"上凸下凹"形状，即梁的下半部纤维受压、上半部受拉。常见于悬臂梁固定端或连续梁支座处，与正弯矩共同描述梁的完整弯曲状态。MechanicsofMaterials内力的直接计算规律基于截面法和符号规定，可总结出快速求解内力的代数和规律：横截面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和；弯矩等于截面一侧所有外力（含力偶）对截面形心力矩的代数和。剪力计算规律左侧梁段向上的外力、或右侧梁段向下的外力引起正剪力；反之为负剪力。剪力值恒等于截面一侧所有横向外力的代数和。FS=ΣF(一侧)弯矩计算规律无论左右侧，向上的外力均引起正弯矩；向下的外力引起负弯矩。弯矩值等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。Mc=ΣMc(一侧)外力偶处理左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正弯矩；右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正弯矩。力偶方向与截面位置共同决定弯矩正负。Me顺(左)/逆(右)MATERIALMECHANICS·CHAPTER04截面法实例演练通过具体实例应用截面法，需特别注意在集中力作用处剪力的突变现象，以及集中力偶作用处弯矩的突变现象。这是后续绘制内力图时判断图形跳跃点的关键依据。01求解支反力利用整体平衡方程∑MA=0和∑MB=0，求出两端的垂直约束反力FAy和FBy∑M=002截面D⁻内力在集中力左侧无限接近处截开，取左段分析，计算该处的剪力与弯矩值D⁻03截面D⁺内力在集中力右侧无限接近处截开，发现剪力发生突变（突变量等于集中力F），弯矩连续ΔV=F04截面E内力在力偶作用点处截开，发现剪力连续，但弯矩发生突变（突变量等于集中力偶矩M）ΔM=M₀CHAPTER03剪力图和弯矩图内力方程、微分关系与图形绘制法则BendingInternalForces剪力方程与弯矩方程通过建立剪力FS(x)和弯矩M(x)关于坐标x的函数方程，可以精确描述内力沿梁轴线的分布规律。分段点是列方程的关键。01分段原则以梁的左端为原点建立x轴，在集中力、力偶作用点及分布荷载起止点处将梁分段Segmentation02列方程对每一段内任取一截面x，用截面法写出该段