第4章-线性规划在工商管理中的应用

1第四章线性规划在工商管理中的应用§1人力资源分配的问题§2生产计划的问题§3套裁下料问题§4配料问题§5投资问题2§1

人力资源分配的问题

例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?3§1

人力资源分配的问题

解：设xi

表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

约束条件：s.t.x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥04§1

人力资源分配的问题

例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？5§1

人力资源分配的问题

解：设xi(i=1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28

x2+x3+x4+x5+x6≥15

x3+x4+x5+x6+x7≥24

x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31

x7+x1+x2+x3+x4≥28

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥06

一、使用线性规划方法处理实际问题

必须具备的条件(建模条件)：优化条件---问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示。选择条件---有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案。73）限制条件---达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来。此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，有可能建立数学关系，即这些变量之间是内部相关的。8

二、建模步骤：

第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半。

第二步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，以避免“遗漏”或“重复”所造成的错误。

9

第三步：明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，确定对函数是取极大还是取极小的要求。决策变量的非负要求可以根据问题的实际意义加以确定。

讨论：这三步的顺序可以颠倒吗？为什麽？101、产品计划问题

问题的一般提法：用若干种原材料（资源）生产某几种产品，原材料（或资源）供应有一定限制，要求制定一个产品生产计划，使其在一定数量的资源限制条件下能得到最大的收益。11

如果用，

单位产品所需资源数（如原材料、人力、时间等）、所得利润及可供应的资源总量已知，如表所示，问应如何组织生产才能使利润最大？12产品计划问题有关信息表

13

设出产品的计划数，可列出这类问题的数学模型如下：14一般的产品计划问题举例

：

某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产一吨产品A需要经第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时；每生产一吨产品B需要经第一道工序加工3小时，第二道工序加工4小时。可供利用的第一道工序为12小时，第二道工序为24小时。

生产产品B的同时产出副产品C，每生产一吨产品B，可同时得到2吨产品C而毋需外加任何费用；副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。

出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失200元。经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出线性规划模型，决定A、B两种产品的产量，使工厂总的利润最大。15

信息整理：

16

利润与产量的关系图：

17数学模型：

设：x1——产品A的产量，x2——产品B的产量，x3——产品C的销售量，x4——产品C的报废量。依题意，可得182、产品配套问题

例1-8

某产品由两个零件I和三个零件II组成，每个零件均可由三个车间各自生产，但各车间的生产效率和总工时限制各不相同，表中给出了有关信息。试确定各车间生产每种零件的工作时间，使生产产品的件数最多。

19例1-8有关信息表其中：xij表示第i个车间生产第j个零件的时间数

注意——Z是非线性表达式！

20处理：21于是得到该问题的LP模型为：22§2

生产计划的问题

例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？23§2

生产计划的问题

解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5

分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15

产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13

产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10

产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9

产品丙的利润=16-(4+3+2)=7

可得到xi

（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。24§2

生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

约束条件：5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥025§2

生产计划的问题例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？26§2

生产计划的问题解：设xijk

表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:

s.t.5x111+10x211≤6000（设备A1

）

7x112+9x212+12x312≤10000（设备A2

）

6x121+8x221≤4000（设备B1

）

4x122+11x322≤7000（设备B2

）

7x123≤4000（设备B3

）

x111+x112-x121-x122-x123=0（Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）

x211+x212-x221=0（Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）

x312-x322=0（Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）

xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,327§2

生产计划的问题目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润=[（销售单价-原料单价）*产品件数]之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：

Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312

–

300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：

Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x12328合理下料问题

在加工业中，经常遇到这类问题。

问题的一般提法是：已知某种尺寸的棒料或板材，需要将其切割成一定数量既定规格的几种零件毛坯，问应如何选取合理的下料方法，使得既满足对截出毛坯的数量要求，又使所用的原材料最少（或废料最少）？29解决这类问题一般有两个步骤：

步骤一、按照一定的思路设法列出所有的排料方案（也称下料方案或排料图），当方案很多，甚至无法一一列出时，通常应先确定一些筛选原则，把明显不合理的方案删除，仅仅考虑剩余的为数不太多的方案；步骤二、设xi表示按第ｉ种方案下料的棒料根数（或板材块数）i=1,2,…,n，按照问题的要求建立LP模型。30

例

某厂接受了一批加工定货，客户要求加工100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。现在仅有一批长7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，使所用的棒料根数最少？31

最简单的处理方法：从一根棒料上截取2.9米、2.1米和1.5米的棒料各一根，正好配成一套钢架，100套钢架总共需要100根棒料毛坯。每根棒料毛坯剩下0.9米的料头,100根毛坯总共剩90米料头。

——这是最好的办法吗？合理套裁肯定会有更好的效果。先设法列出所有的下料方案，思路如图。32

排列下料方案思路图33

设xi为按第i种方案下料的棒料根数，建立LP模型如下：34§3

套裁下料问题

例5．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5种下料方案，见下表

设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5

约束条件：s.t.x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥035用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即x1=30;x2=10；

x3=0；

x4=50；

x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。§3

套裁下料问题36

合理配料问题

问题的一般提法：由多种原料配置成含有m种成分的产品，已知产品中所含各成分的需要量及每种原料的价格，同时知道各种原料中所含m种成分的数量，要求给出使产品成本最低的配料方案。如：伙食问题（也称营养问题）、饲料配比问题、化工产品中的混合问题等都属于这类问题。

37例营养问题

要求制定一个既经济又合乎健康标准的食谱。一个简单的例子：现准备采购甲、乙两种食品，表中给出了已知价格及相关的营养成分。最右栏给出了按营养学标准每人每天的最低需要量。问应如何采购食品才能在保证营养要求的前提下花费最省？38表1-2营养问题已知数据表

39

设x1、x2分别为甲、乙两种食品的采购量，则购买两种食品的总费用为Z=1.2x1+1.9x2，依题意可列出下面的线性规划：40

营养问题适用范围：

&

运动员集训队食谱设计；

&

幼儿园、医院等特殊群体的营养配餐；

&

机关、学校、企业等企事业单位团体伙食设计；

&家庭食谱设计；小实践选题建议2：为所在班级同学设计不同要求的食谱41

对不同对象的营养要求——从营养学资料和通过医生咨询得到；

各种食品的价格——通过不同季节的市场调查获取；

一些特殊要求，比如饮食习惯、偏好等——可通过适当处理，转化为约束条件加入模型；资料获取渠道及特殊要求的处理建议：42

例（饲料配比问题）某配合饲料厂生产以鸡饲料为主的配合饲料，现准备研制一种新的肉用仔鸡专用饲料，所用原料的营养成分和饲养标准见表，希望这种新饲料能满足肉用仔鸡的喂养需要又使总成本尽可能低，应如何设计配比方案？4344

已知各种原料的购进价1公斤分别为:0.314(玉米)、054(豆饼)、0.22（麦麸）、1.20（鱼粉）、0.40（骨粉）、0.50（鸡促进素）元。45

设每100公斤饲料中配给的玉米、豆饼、麦麸、鱼粉、骨粉、鸡促进素分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6公斤，则饲料配比即为x1：x2：x3：x4：x5：x6；于是，可建立下面的线性规划：4647§4

配料问题

例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？

解：设xij

表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。48§4

配料问题利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

约束条件：从第1个表中有：

x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)49§4

配料问题

从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有

(x11+x21+x31)≤100(x12+x22+x32)≤100(x13+x23+x33)≤60

通过整理，得到以下模型：50§4

配料问题例6．（续）目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

约束条件：

s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）

x11+x21+x31≤100(供应量限制）

x12+x22+x32≤100(供应量限制）

x13+x23+x33≤60(供应量限制）

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,351§4

配料问题

标准汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)库存量(L)1107.57.11×10-2380000293.011.38×10-2265200387.05.69×10-24081004108.028.45×10-2130100例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？飞机汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)产量需求1不小于91不大于9.96×10-2越多越好2不小于100不大于9.96×10-2不少于250000表4---6表4---752§4

配料问题

解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。目标函数为飞机汽油1的总产量：库存量约束为：产量约束为飞机汽油2的产量：由物理中的分压定律，可得有关蒸汽压力的约束条件：同样可得有关辛烷数的约束条件为：53§4

配料问题

综上所述，得该问题的数学模型为：54§4

配料问题

由管理运筹学软件求解得：55§5

投资问题

例8．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？

解：1）确定决策变量：连续投资问题设xij(i=1～5，j=1～4)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：

Ax11

x21

x31

x41

x51

Bx12

x22

x32

x42Cx33

Dx24562）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有资金1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有资金1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有资金1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；

B、C、D的投资限制：xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1003）目标函数及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11；

x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；

x41+x42=1.1x31+1.25x22；

x51=1.1x41+1.25x32；