高等代数习题集（2026考研中央财经大学·历年真题分类汇编）

高等代数习题集（2026考研中央财经大学·历年真题分类汇编）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，且AB为可逆矩阵，则下列命题正确的是（）A.A和B均为可逆矩阵B.A和B中至少有一个为可逆矩阵C.A和B均不可逆D.A和B的阶数必须相同且均大于12.已知向量组α₁=(1,0,1)，α₂=(1,1,0)，α₃=(0,1,1)，α₄=(1,1,1)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.43.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则下列说法正确的是（）A.W必包含V的非零向量B.W必包含V的零向量C.W可能不包含V的任何非零向量D.W的维数必小于V的维数4.设A为n阶实对称矩阵，且满足A²=A，则下列结论正确的是（）A.A为可逆矩阵B.A为不可逆矩阵C.A的特征值只有1D.A的特征值只有-15.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则下列结论正确的是（）A.A和B的特征值相同B.A和B的特征值之和相同C.A和B的特征值之积相同D.A和B的特征向量相同6.设V为n维线性空间，W₁和W₂为V的两个子空间，维数分别为k₁和k₂，则下列结论正确的是（）A.W₁∪W₂的维数为k₁+k₂B.W₁∩W₂的维数小于k₁+k₂C.W₁∪W₂的维数小于k₁+k₂D.W₁∩W₂的维数为k₁+k₂-维数(V)7.设A为n阶矩阵，且满足A²=0，则下列结论正确的是（）A.A为可逆矩阵B.A为不可逆矩阵C.A的特征值只有0D.A的特征值只有18.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则下列说法正确的是（）A.W必包含V的非零向量B.W必包含V的零向量C.W可能不包含V的任何非零向量D.W的维数必小于V的维数9.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则下列结论正确的是（）A.A和B的特征值相同B.A和B的特征值之和相同C.A和B的特征值之积相同D.A和B的特征向量相同10.设V为n维线性空间，W₁和W₂为V的两个子空间，维数分别为k₁和k₂，则下列结论正确的是（）A.W₁∪W₂的维数为k₁+k₂B.W₁∩W₂的维数小于k₁+k₂C.W₁∪W₂的维数小于k₁+k₂D.W₁∩W₂的维数为k₁+k₂-维数(V)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则A和B的乘积AB的特征值与A的特征值______。2.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则W的维数______V的维数。3.设A为n阶矩阵，且满足A²=0，则A的秩______。4.设V为n维线性空间，W₁和W₂为V的两个子空间，维数分别为k₁和k₂，则W₁∩W₂的维数______k₁+k₂-维数(V)。5.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则A和B的乘积AB的逆矩阵与A的逆矩阵______。6.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则W的维数______V的维数。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设A为n阶矩阵，且满足A²=A，证明A的特征值只有1或0。2.（10分）设V为n维线性空间，W₁和W₂为V的两个子空间，维数分别为k₁和k₂，证明W₁∩W₂的维数小于或等于k₁和k₂中的较小者。3.（10分）设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，证明A和B的乘积AB的特征值与A的特征值相同。4.（10分）设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，证明W的维数小于或等于V的维数。5.（10分）设A为n阶矩阵，且满足A²=0，证明A的秩小于或等于n-1。6.（20分）设V为n维线性空间，W₁和W₂为V的两个子空间，维数分别为k₁和k₂，证明W₁∪W₂的维数满足维数(W₁∪W₂)≤维数(W₁)+维数(W₂)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：因为AB为可逆矩阵，所以A和B均为可逆矩阵。2.C解析：向量组α₁=(1,0,1)，α₂=(1,1,0)，α₃=(0,1,1)，α₄=(1,1,1)的秩为3。3.B解析：W为V的子空间，所以W必包含V的零向量。4.C解析：因为A为实对称矩阵，且满足A²=A，所以A的特征值只有1。5.A解析：因为A和B为可逆矩阵，且满足AB=BA，所以A和B的特征值相同。6.B解析：W₁∩W₂的维数小于k₁+k₂。7.B解析：因为A为n阶矩阵，且满足A²=0，所以A为不可逆矩阵。8.B解析：W为V的子空间，所以W必包含V的零向量。9.A解析：因为A和B为可逆矩阵，且满足AB=BA，所以A和B的特征值相同。10.B解析：W₁∩W₂的维数小于k₁+k₂。二、填空题1.相同解析：因为A和B为可逆矩阵，且满足AB=BA，所以A和B的乘积AB的特征值与A的特征值相同。2.小于或等于解析：W为V的子空间，所以W的维数小于或等于V的维数。3.小于或等于n-1解析：因为A为n阶矩阵，且满足A²=0，所以A的秩小于或等于n-1。4.等于解析：W₁∩W₂的维数等于k₁+k₂-维数(V)。5.相同解析：因为A和B为可逆矩阵，且满足AB=BA，所以A和B的乘积AB的逆矩阵与A的逆矩阵相同。6.小于或等于解析：W为V的子空间，所以W的维数小于或等于V的维数。三、解答题1.证明：设λ为A的特征值，α为A的特征向量，则满足Aα=λα。因为A²=A，所以Aα=λα，即A²α=λ²α。又因为Aα=λα，所以λ²α=λα。因为α为非零向量，所以λ²=λ，即λ(λ-1)=0。所以λ=0或λ=1。因此，A的特征值只有1或0。2.证明：设W₁∩W₂的维数为k，且α₁,α₂,...,αₖ为W₁∩W₂的一个基。因为α₁,α₂,...,αₖ为W₁的一个基，所以它们线性无关。又因为α₁,α₂,...,αₖ为W₂的一个基，所以它们线性无关。因此，α₁,α₂,...,αₖ为V的一个线性无关组。因为W₁和W₂的维数分别为k₁和k₂，所以W₁∩W₂的维数小于或等于k₁和k₂中的较小者。3.证明：设λ为A的特征值，α为A的特征向量，则满足Aα=λα。因为A和B为可逆矩阵，且满足AB=BA，所以B(Aα)=B(λα)，即(AB)α=λ(Bα)。因为B为可逆矩阵，所以Bα为非零向量。因此，λ为A和B的乘积AB的特征值。因此，A和B的乘积AB的特征值与A的特征值相同。4.证明：设W为V的子空间，维数分别为n和k。因为W为V的子空间，所以W的维数小于或等于V的维数。5.证明：设A为n阶矩阵，且满足A²=0。因为A²=0，所以A的秩小于或等于n-1。因此，A的秩小于或等于n-1。6.证明：设W₁∪W₂的维数为k，且α₁,α₂