【2026考研】哈尔滨工业大学高等代数期中试卷（附解析版）

【2026考研】哈尔滨工业大学高等代数期中试卷（附解析版）一、单项选择题（每题5分，共50分）1.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α在基B下的坐标为(1,2,3)^(T)。若线性变换T:V→V满足T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，则向量α在T(α)后的坐标为（）A.(2,3,1)^(T)B.(3,1,2)^(T)C.(1,3,2)^(T)D.(2,1,3)^(T)2.设A是3阶实对称矩阵，且满足A²-A=0，若秩rank(A)=2，则A的相似对角化结果是（）A.[2,2,0]B.[2,1,0]C.[1,1,0]D.[1,0,0]3.设V是实数域R上的n维线性空间，T是V上的线性变换，若ker(T)的维数为k，则T的像空间Im(T)的维数为（）A.n-kB.n+kC.kD.n²-k²4.设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，则方程组AX=B的解的个数为（）A.1B.0或1C.mD.无穷多5.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,0,1)^(T)，α₂=(0,1,1)^(T)，α₃=(1,1,0)^(T)是V中的向量，则向量α=(2,3,4)^(T)在基B下的坐标为（）A.(1,1,1)^(T)B.(2,1,1)^(T)C.(1,2,1)^(T)D.(1,1,2)^(T)6.设A是n阶矩阵，且满足A²=I，则A的秩rank(A)可能为（）A.1B.2C.n-1D.n²-17.设V是实数域R上的n维线性空间，T是V上的线性变换，若T是可逆的，则T的像空间Im(T)的维数为（）A.1B.n-1C.nD.08.设A是n阶实对称矩阵，且满足A²=I，则A的相似对角化结果是（）A.[1,1,...,1]B.[1,-1,...,1]C.[1,0,...,0]D.[1,1,...,1,-1]9.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,1,1)^(T)，α₂=(1,1,0)^(T)，α₃=(1,0,0)^(T)是V中的向量，则向量α=(1,2,3)^(T)在基B下的坐标为（）A.(1,1,1)^(T)B.(2,1,1)^(T)C.(1,2,1)^(T)D.(1,1,2)^(T)10.设A是n阶矩阵，且满足A²=I，则A的行列式det(A)可能为（）A.1B.-1C.0D.A和B都可能是二、填空题（每题5分，共30分）1.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,0,1)^(T)，α₂=(0,1,1)^(T)，α₃=(1,1,0)^(T)是V中的向量，则向量α=(2,3,4)^(T)在基B下的坐标为________。2.设A是3阶实对称矩阵，且满足A²-A=0，若秩rank(A)=2，则A的相似对角化结果是________。3.设V是实数域R上的n维线性空间，T是V上的线性变换，若ker(T)的维数为k，则T的像空间Im(T)的维数为________。4.设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，则方程组AX=B的解的个数为________。5.设A是n阶矩阵，且满足A²=I，则A的秩rank(A)可能为________。6.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,1,1)^(T)，α₂=(1,1,0)^(T)，α₃=(1,0,0)^(T)是V中的向量，则向量α=(1,2,3)^(T)在基B下的坐标为________。三、解答题（共70分）1.（10分）设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,0,1)^(T)，α₂=(0,1,1)^(T)，α₃=(1,1,0)^(T)是V中的向量，证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，并求向量α=(2,3,4)^(T)在基B下的坐标。2.（10分）设A是3阶实对称矩阵，且满足A²-A=0，若秩rank(A)=2，求A的特征值，并给出A的相似对角化结果。3.（10分）设V是实数域R上的n维线性空间，T是V上的线性变换，若ker(T)的维数为k，证明T的像空间Im(T)的维数为n-k。4.（10分）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，证明方程组AX=B有唯一解。5.（10分）设A是n阶矩阵，且满足A²=I，证明A的秩rank(A)为n或0。6.（10分）设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α₁=(1,1,1)^(T)，α₂=(1,1,0)^(T)，α₃=(1,0,0)^(T)是V中的向量，证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，并求向量α=(1,2,3)^(T)在基B下的坐标。【标准答案及解析】一、单项选择题（每题5分，共50分）1.A解析：由线性变换T的性质，T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，所以T(α)=T(β₁+2β₂+3β₃)=T(β₁)+2T(β₂)+3T(β₃)=β₂+2β₃+3β₁=(2,3,1)^(T)。2.A解析：由A²-A=0可得A(A-I)=0，因为A是实对称矩阵，所以A可对角化，且特征值只能是1或0。因为秩rank(A)=2，所以特征值1的个数为2，特征值0的个数为1，所以A的相似对角化结果是[2,2,0]。3.A解析：由秩-维数定理，dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))，所以dim(Im(T))=n-k。4.A解析：因为A是n阶可逆矩阵，所以方程组AX=B有唯一解。5.B解析：由线性变换T的性质，T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，所以T(α)=T(β₁+2β₂+3β₃)=T(β₁)+2T(β₂)+3T(β₃)=β₂+2β₃+3β₁=(2,1,1)^(T)。6.C解析：因为A²=I，所以A的特征值只能是1或-1。因为A可逆，所以0不是A的特征值。所以A的秩rank(A)可能为n-1。7.C解析：因为T是可逆的，所以T的像空间Im(T)等于V，所以dim(Im(T))=n。8.A解析：因为A是实对称矩阵，且满足A²=I，所以A的特征值只能是1或-1。因为A可对角化，所以A的相似对角化结果是[1,1,...,1]或[-1,-1,...,-1]。9.B解析：由线性变换T的性质，T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，所以T(α)=T(β₁+2β₂+3β₃)=T(β₁)+2T(β₂)+3T(β₃)=β₂+2β₃+3β₁=(2,1,1)^(T)。10.A解析：因为A²=I，所以A的特征值只能是1或-1。所以A的行列式det(A)可能为1。二、填空题（每题5分，共30分）1.(2,1,1)^(T)解析：由线性变换T的性质，T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，所以T(α)=T(β₁+2β₂+3β₃)=T(β₁)+2T(β₂)+3T(β₃)=β₂+2β₃+3β₁=(2,1,1)^(T)。2.[2,2,0]解析：由A²-A=0可得A(A-I)=0，因为A是实对称矩阵，所以A可对角化，且特征值只能是1或0。因为秩rank(A)=2，所以特征值1的个数为2，特征值0的个数为1，所以A的相似对角化结果是[2,2,0]。3.n-k解析：由秩-维数定理，dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))，所以dim(Im(T))=n-k。4.1解析：因为A是n阶可逆矩阵，所以方程组AX=B有唯一解。5.n或0解析：因为A²=I，所以A的特征值只能是1或-1。如果A的所有特征值都是1，则A的秩rank(A)=n。如果A的所有特征值都是-1，则A的秩rank(A)=0。6.(2,1,1)^(T)解析：由线性变换T的性质，T(β₁)=β₂,T(β₂)=β₃,T(β₃)=β₁，所以T(α)=T(β₁+2β₂+3β₃)=T(β₁)+2T(β₂)+3T(β₃)=β₂+2β₃+3β₁=(2,1,1)^(T)。三、解答题（共70分）1.证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，并求向量α=(2,3,4)^(T)在基B下的坐标。证明：要证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，需要证明它们线性无关。设c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃=0，即c₁(1,0,1)^(T)+c₂(0,1,1)^(T)+c₃(1,1,0)^(T)=0，即(c₁+c₃,c₂+c₃,c₁+c₂)^(T)=0，所以c₁=c₂=c₃=0，因此{α₁,α₂,α₃}线性无关。因为V是三维线性空间，所以{α₁,α₂,α₃}是V的一个基。求向量α=(2,3,4)^(T)在基B下的坐标：设α=c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃，即(2,3,4)^(T)=c₁(1,0,1)^(T)+c₂(0,1,1)^(T)+c₃(1,1,0)^(T)，即(2,3,4)^(T)=(c₁+c₃,c₂+c₃,c₁+c₂)^(T)，所以c₁+c₃=2，c₂+c₃=3，c₁+c₂=4，解得c₁=2，c₂=1，c₃=0，所以α=(2,1,0)^(T)在基B下的坐标为(2,1,0)^(T)。2.求A的特征值，并给出A的相似对角化结果。由A²-A=0可得A(A-I)=0，所以A的特征值只能是1或0。因为秩rank(A)=2，所以特征值1的个数为2，特征值0的个数为1，所以A的相似对角化结果是[2,2,0]。3.证明T的像空间Im(T)的维数为n-k。由秩-维数定理，dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))，所以dim(Im(T))=n-k。4.证明方程组AX=B有唯一解。因为A是n阶可逆矩阵，所以方程组AX=B有唯一解。5.证明A的秩rank(A)为n或0。因为A²=I，所以A的特征值只能是1或-1。如果A的所有特征值都是1，则A的秩rank(A)=n。如果A的所有特征值都是-1，则A的秩rank(A)=0。6.证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，并求向量α=(1,2,3)^(T)在基B下的坐标。证明：要证明{α₁,α₂,α₃}是V的一个基，需要证明它们线性无关。设c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃=0，即c₁(1,1,1)^(T)+c₂(1,1,0)^(T)+c₃(1,0,0)^(T)=0，即(c₁+c₂+c₃,c₁+c₂,c₁)^(T)=0，所以c₁=c₂=c₃=0，因此{α₁,α₂,α₃}线性无关。因为