第12讲　开普勒定律　万有引力定律

5/5第12讲开普勒定律万有引力定律1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。双基落实1.易错判断（1）围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不同，但都有一个共同的焦点。（）（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（）（3）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Gm1m2r（4）地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。（）2.〔人教版必修第二册P58·T4改编〕地球的公转轨道接近圆，但哈雷彗星的绕日运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归将在2061年。已知地球和太阳之间的距离为1AU，则哈雷彗星轨道半长轴约为（）A.27AUB.18AUC.9AUD.3AU考点一开普勒定律1.灵活应用（1）行星：轨道长轴和短轴差别不大，通常按圆轨道处理。（2）彗星：近日点和远日点到太阳距离r1、r2差别很大，运行速度的变化，应用开普勒第二定律判断，如图，由12v1Δtr1＝12v2Δtr2得v1v2（3）当地球为中心天体时，同样适用于卫星的运动，有时还适用于一个电荷绕另一个电荷的运动[如2025·辽宁高考卷T15（3）]2.中心天体（可以是太阳、地球等，也可以是中子星、黑洞等）（1）中心天体不同，开普勒第三定律不适用，如行星和地球卫星的运行。（2）开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体质量有关，（2025·广东高考5题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（）A.公转周期约为6年B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的1尝试解答（2024·浙江6月选考8题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（）A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度C.小行星甲与乙的运行周期之比T1TD.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比t1t考点二万有引力定律万有引力定律的应用（2025·安徽合肥三模）2025年4月11日00时47分，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，随后将通信技术试验卫星十七号卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。该卫星主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。若该卫星在定轨前，由周期为T1的圆轨道变轨到周期为T2的圆轨道，则它先后在这两个圆轨道上时受到来自地球的万有引力之比为（）A.T1T24C.T1T22尝试解答万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。（1）在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2（2）在两极上：GMmR2＝mg（3）在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg，即GM＝gR2（（2026·广东广州期中）我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为M的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和赤道上馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为（）A.T2ΔF4C.MT2ΔF尝试解答星体上空及星体内部的重力加速度（2026·陕西榆林一模）神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！若地球的半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，“奋斗者”号下潜深度为d，“天和”核心舱的轨道距离地面高度为h，不考虑地球自转，则“奋斗者”号与“天和”核心舱的重力加速度之比为（）A.（R－d）C.（R－d)(尝试解答“填补法”计算万有引力1.方法原理填补法通过填补将不规则物体转换为规则几何形状，使其符合万有引力定律的适用条件（质点或均匀球体）。关键在于准确计算“补”部分的质量关系，并考虑引力的矢量合成。2.解题步骤（1）将不规则图形填补成规则图形；（2）计算规则整体的万有引力；（3）求出补上图形产生的万有引力；（4）用合成分解法求出不规则物体间万有引力。（2026·山东淄博模拟）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为12R的球体，如图所示，则剩余部分对质量为m的质点的万有引力为（）A.GMm4R2 C.GMm18R2 尝试解答（2026·重庆渝中模拟）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为R2的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（A.13πρGmR B.23C.πρGmR D.43π考点三天体质量和密度的计算项目方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝M＝4（1）只能得到中心天体的质量（2）已知r、v或v、T也可计算M利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmM＝gGM＝gR2（黄金代换）密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2；M＝ρ＝3近地卫星，则r＝R，ρ＝3利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2；M＝ρ·43ρ＝3利用天体表面附近的自由落体、平抛运动、单摆等可确定其他星球的重力加速度〔多选〕（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（）A.r＝a＋b＋R2 B.C.M＝4π2r3GT尝试解答〔多选〕（2025·云南曲靖二模）我国计划在2030年前实现载人登月，目前各项准备工作稳步推进，登月服和载人月球车已正式命名为“望宇”和“探索”。假如宇航员登月后将一石块从离地高h处以v0的初速度水平抛出，测得石块的水平位移为x，已知月球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（）A.月球表面的重力加速度g月＝hB.月球的质量m月＝hC.月球的质量m月＝2D.月球的平均密度ρ＝3尝试解答（2025·山东枣