2026年四川省自贡市中考 数学试题

年四川省自贡市中考数学试题1．如果无人机上升60 m记作+60 m，那么下降80 m记作（）A．+80m B．-60m C．+20m D．-80m2．2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次．将95700用科学记数法表示为（）A．0.957×104 B．9.57×104 C．3．下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（）A． B． C． D．4．自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（）A． B．C． D．5．下列说法正确的是（）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件C．任意一组数据的众数都只有一个D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S甲2=46．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2S（单位：m21248p（单位：Pa）80402010则压强p（Pa）与受力面积S（m2A．p=S80 B．p=80S C．p=807．如图，Rt△OAB中，∠B=30°，OA=2，AB平行于x轴，将Rt△OAB绕原点O顺时针旋转180°到△OCD位置，CD交y轴于点P，则点P的坐标为（）A．0,−3 B．0,3 C．0,−1 8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1，S2，正方形ABCD的面积记作S3，则S1，A．S1+S2<S3 B．9．如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠D=60°，∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E，F，AE与BF相交于点P，连接CP，则sin∠PCF的值为（）A．2−3 B．33 C．3210．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿D→A→B→C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿D→C匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作PF⊥CD于点F．设运动时间为x秒，PF+DQ=y，y关于x的函数图象如图2所示，则CD的长为（）A．8 B．9 C．10 D．1111．分解因式：n2−9=12．正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF按如图摆放，则∠BCF=°．13．每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：L）．这组数据的中位数为．14．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为2dm的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为1dm，剪去空白部分，则剩下部分面积为dm215．如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF=45°，交AD于点F．点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ=2FH，FG与DH交于点P．连接BP，若AF=2，则BP的最小值为16．计算：−1+17．解不等式组：2x<x+2①18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边AD，BC上的点，且DE=BF，连接AF，CE．求证：AF=CE．19．为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．20．在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛.每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分.（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场?（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果(写出两种情况即可).21．如图，反比例函数y1=mx与一次函数y2=x+n的图象相交于A，（1）求反比例函数的解析式及n的值；（2）请直接写出当y1>y（3）点P是直线y2=x+n上的一个动点，当OP⊥AB时，求点22．如图1，等边△ABC内接于⊙O，D为BC中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作EM∥BC．（1）求证：EM是⊙O的切线．（2）如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与⊙O的优弧BAC交于点P（与点B，C不重合），连接PA，PC．①在点F运动过程中，请探究线段PA，PB，PC的数量关系并说明理由：②连接CE，若AB=23，当点P到CE的距离最大时，请直接写出PA+BF23．在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量．（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE（长度2m）顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF=2m．小刚将观测点F后移13m到F'处，采用同样方法，测得D'F'=3 m．小刚眼睛距离地面的高度FG=F'G'=0.8 m，点F'，D'，F，D与树的底部（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A的仰角∠AGB=26.7°，前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB=45°，点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF=16m．请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．24．平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+mx+n（1）求m，n的值．（2）如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D（点A在第三象限，点C在第二象限）．①求线段OC长度的最小值；②连接AC，BD分别交x轴于E，F两点，设△OAE，△OBF的面积分别为S1，S2，是否存在直线AB使S1

答案解析部分1．【答案】D【知识点】用正数、负数表示相反意义的量【解析】【解答】解：无人机上升60m记作+60m，那么下降80m记作-80m.

故答案为：D.

【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故用正数表示上升米数，则下降米数就用负数表示.2．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：95700用科学记数法表示为9.57×104.

故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.3．【答案】A【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】A、正方体从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，故此选项符合题意；B、三棱柱从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，故此选项不符合题意；C、圆锥从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，故此选项不符合题意；D、圆柱从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，故此选项不符合题意．

故答案为：A.

【分析】从几何体的正面看得到的平面图形就是其主视图，从几何体的左面看得到的平面图形就是其左视图，从几何体的上面看得到的平面图形就是其俯视图，据此逐一判断出各个选项所给几何体的三视图，即可判断得出答案.4．【答案】C【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、该选项中灯组图案找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；D、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故答案为：C.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.5．【答案】B【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；众数【解析】【解答】解：A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故此选项错误；B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故此选项正确；C、一组数据的众数可以有多个，例如数据1,1,2,2,3的众数为1和2，故此选项错误；D、方差越小，成绩越稳定，由于S甲2>S乙6．【答案】C【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用【解析】【解答】解：∵根据表格数据计算得：1×80=80，2×40=80，4×20=80，8×10=80，∴压力一定时，压强p与受力面积S成反比例关系，可设p=k∴pS=k=80，∴p=80S．

故答案为：C.7．【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—边角关系【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠A=60°，由旋转的性质得∠C=∠A=60°，OC=OA=2，CD∥AB∥x轴，∴CD⊥OP，Rt△OCP中，OP=OC⋅sin60°=3∵P在y轴的负半轴，∴P的坐标为0,−3．

故答案为：A.

8．【答案】B【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：如图，取点E，F，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=∠AED=∠DFC=90°，∵∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，∴∠ADE=∠DCF，在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF∠AED=∠DFC∴△ADE≌△DCFAAS∴DE=CF，在Rt△ADE中，A∵S1=AE2，∴S1+S2=S3．

故答案为：B.

【分析】如图，取点E、F，由正方形性质得AD=CD，∠ADC=∠AED=∠DFC=90°，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ADE=∠DCF，从而由“AAS”证△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE=CF，在Rt△ADE中，利用勾股定理得出AE2+DE2=AD29．【答案】D【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：在▱ABCD中，∠D=60°，AB=8，

∴AB∥CD，∠BAD=120°，∠ABC=60°，DC=AB=8，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=1∵AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAE=60°，在△ADE中，∠D=∠DAE=∠AED=60°，

∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE=AD=6，

∴EC=DC−DE=8−6=2，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF=1在△ABP中，∠PAB=60°，∠PBA=30°，

∴∠APB=90°，∴在Rt△APB中，∠ABP=30°，AB=8，

∴PA=1∴PE=AE−AP=6−4=2，∴PE=CE=2，

∴∠PCE=∠CPE，∵∠PEF是△PEC的一个外角，且∠PEF=60°，∴∠PCF=1∴sin∠PCF=sin30°=12．

故答案为：D.10．【答案】C【知识点】矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：过A作AH⊥DC于H，如图所示，

∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=90°，∴∠C=90°∵AH⊥DC∴∠AHC=90°∴四边形AHCB为矩形，∴AH=BC,AB=HC，当P在DA上运动时，∵PF⊥CD，∴PF∥AH，∴ΔDPF∽ΔDAH，∴PFAH由题设DP=2x，则DQ=x，∴PF=AH∴y=PF+DQ=(2AH由函数图象可知，当x=1时，y=13∴2AHAD+1=13当P到达A点后，P在AB上运动时，PF恒等于高AH，此时y=AH+x，由函数图象可知，当x=4时y=8，∴AH+4=8，即AH=4，∴AH=BC=4，把AH=4代入AHAD=4解得AD=5；∴在RtΔADH中，DH=当点P开始沿BC运动，此时PF=4−2x−AD−AB∴y=PF+DQ=9−2x+AB+x=9−x+AB，代入x=7时y=9，得9−7+AB=9，∴AB=7，∴CD=AB+3=7+3=10．

故答案为：C.

【分析】过点A作AH⊥DC于点H，由二直线平行，同旁内角互补求出∠C=90°，从而根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形AHCB是矩形，由矩形对边相等得AH=BC，AB=CH；分类讨论：当P在DA上运动时，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出PF∥AH，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△DPF∽△DAH，由相似三角形对应边成比例得出PFAH=DPAD=DFDH11．【答案】(n−3)(n+3)【知识点】因式分解﹣公式法【解析】【解答】解：n2−9=n+3n−3，

故答案为：12．【答案】63【知识点】多边形内角与外角；等腰直角三角形；正多边形的性质【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠BCD=5−2∵△CDF是等腰直角三角形且∠CFD=90°，∴∠FCD=∠FDC=1∴∠BCF=∠BCD−∠FCD=63°．

故答案为：63.

【分析】根据正多边形每一个内角都相等及多边形内角和公式可求出∠BCD=108°，由等腰直角三角形性质得∠FCD=45°，进而根据角的构成，由∠BCF=∠BCD-∠FCD可算出答案.13．【答案】1.5【知识点】中位数【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：1，1.2，1.5，2，2.2，本组数据共有5个，个数为奇数，中位数为排序后第3个数，即1.5．

故答案为：1.5.

【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.14．【答案】4【知识点】扇形面积的计算；轴对称的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：根据题意，半径为R=2dm的圆形纸片的面积为4πdm2，内部4个小圆的半径都为r=1dm根据剪纸中折叠的性质得到，AC⊥BD，垂足为点O，四边形ABCD是正方形，过点O作OE⊥AB于点E，圆心为点E，∴AB=2r=2dm，则AE=OE=1∴S扇形AOB=12π×∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：4π∴在⊙E中，弓形OA,OB的面积为S扇形同理，大圆内4个花瓣的面积和为4×1∴阴影部分的面积为2π−4+2π−4=4π−8dm2，即剪去空白部分，则剩下部分面积为15．【答案】4【知识点】正方形的性质；圆周角定理；旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-SAS【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a，∴AB=BC=CD=AD=a,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵点E为CD的中点，∴DE=CE=1∵AF=2,AD=a，且△DFQ是等腰直角三角形，∴DF=DQ=AD−AF=a−2，∠DFQ=∠DQF=45°∵∠EBF=45°，∴∠CBE+∠ABF=∠ABC−∠EBF=90°−45°=45°，如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上，∴BF=BK,AF=CK,∠ABF=∠CBK，则∠CBK+∠CBE=∠ABF+∠CBE=45°=∠EBF，且BE=BE，∴△EBF≌△EBKSAS∴EF=EK=EC+CK=EC+AF=1在Rt△DEF中，EF∴12整理得，a2解得，a1∴AB=BC=CD=AD=6，∴DF=DQ=6−2=4，DE=3，∴FQ=2∴FQDF∵GQ=2∴GQFH∴FQDF=GQ∴△DFH∽△FQG，∴∠FDH=∠QFG，在△PDF中，∠DPF=180°−∠PDF+∠PFD∵∠PFD=∠QFD−∠QFG=45°−∠QFG=45°−∠FDH，∴∠PDF+∠PFD=∠FDH+45°−∠FDH=45°，∴∠DPF=180°−45°=135°，∴点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为O'，半径为R∵圆心角∠DO'F=2×∴△DO∴R=O如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，∴B(0,0),A(0,6),D(6,6),F(2,6)，∵DF在直线y=6上，且P在正方形内部（y<6），∴圆心O'在DF的上方，且O'到DF的距离为∵DF的中点坐标为J4,6∴圆心O'的坐标为(4,8)，连接BO'，交圆弧于点P，此时BP∴BPmin=BO'−R=45−22．

故答案为：45−216．【答案】解：−1+sin60°−π=1+1−2=0．【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算【解析】【分析】由“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及二次根式性质“a217．【答案】解：2x<x+2①解不等式①得x<2，解不等式②，3x+13x+3≥6，3x≥3，解得x≥1，∴不等式组的解集为1≤x<2．【知识点】解一元一次不等式组【解析】【分析】根据解不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项及系数化为1，分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出解集即可.18．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AD−DE=BC−BF∴AE=CF∵AD∥BC，点E，F分别为边AD，BC上的点，∴AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE．【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行得出AD=BC，AD∥BC，根据线段构成及等量减去等量差相等推出AE=CF，从而由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AFCE是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等可得AF=CE.19．【答案】（1）500，40%

解：根据喜欢“乒乓球”的人数为200人，补全条形统计图如下：（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，

∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，

∴所抽取的两人为“一男一女”的概率=812【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率【解析】【解答】（1）解：羽毛球有150人，占比为30%，∴150÷30%=500，∴本次投票共有500人，∴“乒乓球”有500−150−60−90=200（人），∴“乒乓球”所占百分比为200500故答案为：500；40%；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢“羽毛球”运动的人数除以其占比即可求出参与本次投票的总人数，根据喜欢四类球类运动的人数之和等于参与本次投票的总人数即可求出喜欢“乒乓球”运动的人数，进而即可补全图形；

（2）此题是抽取不放回类型，运用画树状图法表示所有等可能结果，由表可知共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，从而根据概率公式列式计算即可.（1）解：羽毛球有150人，占比为30%，∴150÷30%=500，∴本次投票共有500人，∴“乒乓球”有500−150−60−90=200（人），∴“乒乓球”所占百分比为200500补全图形：略；（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，∴所抽取的两人为“一男一女”的概率=820．【答案】（1）解：设1班胜了x场，∵一共15场比赛，负了3场，∴平的场数为15-3-x=(12-x)场，根据总积分为20分列方程：3x+1×(12-x)=20，化简得2x=8，解得x=4，答：1班胜了4场；（2）解：设2班胜x场，平y场(x，y为非负整数，且x+y≤15),∵总积分为15分，∴3x+y=15，即y=15-3x取非负整数解即可：①x②x③x④x⑤x⑥x【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题【解析】【分析】（1）设1班胜了x场，则平(12-x)场，再根据“总积分为20分，”列一元一次方程，求解得到胜场数即可；（2）设2班胜x场，平y场，根据“总积分为15分”列二元一次方程，列举出所有符合条件的非负整数解解答即可．21．【答案】（1）解：∵反比例函数y1=mx经过点A−6,−3，

∴m=−6×−3=18，

∴反比例函数的解析式为y1=18x，

∵（2）x<−6或0<x<3；（3）解：设直线y2=x+3与坐标轴的交点分别为C和D，

令x=0，则y=3，令y=0，则x=−3，

∴C−3,0，C0,3，

∴OC=OD=3，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∵OP⊥AB，

∴点P是CD的中点，

∴点P【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；坐标系中的中点公式；数形结合【解析】【解答】（2）解：由（1）知一次函数的解析式为y2=x+3，

联立得18x=x+3，

解得x=−6或x=3，

∴点B的坐标为3,6，

∴当y1>y2时x的取值范围为x<−6或（2）联立两函数解析式求解得到点B的坐标为(3，6)，从图象角度看求y1＞y2时，自变量x的取值范围，就是求反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合点A、B的坐标即可得出答案；（3）设直线y2=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点D，先根据坐标轴上点的坐标特点求得直线y2（1）解：∵反比例函数y1=m∴m=−6×−3∴反比例函数的解析式为y1∵一次函数y2=x+n的图象经过点∴−3=−6+n，解得n=3；（2）解：由（1）知一次函数的解析式为y2联立得18x解得x=−6或x=3，∴点B的坐标为3,6，∴当y1>y2时x的取值范围为（3）解：设直线y2=x+3与坐标轴的交点分别为C和令x=0，则y=3，令y=0，则x=−3，∴C−3,0，C∴OC=OD=3，∴△OCD是等腰直角三角形，∵OP⊥AB，∴点P是CD的中点，∴点P的坐标为−322．【答案】（1）证明：∵D为BC中点，E在OD的延长线上，∴OE⊥BC，

∴∠BDO=90°，∵EM∥BC，∴∠BDO=∠MEO=90°，∴EM是⊙O的切线；（2）解：①PC=PA+PB或PC=PB−PA，理由如下：当点P在AB上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵AC=∴∠APC=∠ABC=60°，∴△APT是等边三角形，∴AT=AP，∠PTA=60°，∴∠ATC=120°，∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°，∴∠APB=∠ATC，又∵AP=∴∠ABP=∠ACT，∴△ABP≌△ACTAAS∴PB=TC，∴PC=PT+TC=PA+PB；即PC=PA+PB，当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA，同理可得∠APB=∠ACB=60°，∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APC+∠ABC=180°，∵∠APS+∠APC=180°∴∠APS=60°，∴△APS是等边三角形，∴∠S=∠APB，又∵AB=AC，∠ABP=∠ACP，∴△SAC≌△PABAAS∴PB=SC=PC+PS=PC+PA，即PC=PB−PA；

②PA+BF【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合【解析】【解答】解：（2）②∵点P在优弧BAC上，

∴当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE，如图所示，设PO,CE的交点为M，连接OC，OB，

∵△ABC是等边三角形，AB=23，

∴BC=AB=23，∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵OE⊥BC，

∴DC=12BC=3，∠EOC=12∠BOC=60°，

又∵OE=OC，

∴△OCE是等边三角形，

∴∠OCD=12∠OCE=30°，

∴OD=12OC，DC=OC2−OD2=3OD，

∴OD=1，则OC=2，EC=OC=2，

∵OM⊥EC,CD⊥OE，

∴OM=CD=sin60°×2=3，

∴CM=12EC=1，

∴PM=OP+OM=2+3，

在Rt△PCM中，PC=PM2+CM2=2+32+12=2+6，

∵∠BOC=120°，OB=OC，

∴∠OBC=OCB=30°，

∴∠OBC=∠BCE=30°，

∴OB∥EC，

∵PO⊥EC，

∴PO⊥OB，

又∵OB=OP，

∴∠PBO=∠BPO=45°，PB=2PO=22，

由（1）可得P在AB上，PC=PA+PB，

∴PA=PC−PB=2+6−22=6−（2）①PC=PA+PB，理由如下：分情况讨论，当点P在AB上时，在PC上取点T使PT=PA，由等边三角形性质得∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，由同弧所对圆周角相等得出∠APC=∠ABC=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△APT是等边三角形，由等边三角形的性质得AT=AP，∠PTA=60°，由邻补角、圆内接四边形性质及等角的补角相等推出∠APB=∠ATC，再由同弧所对圆周角相等得∠ABP=∠ACT，从而用“AAS”证△ABP≌△ACT，由全等三角形的对应边相等得PB=PC，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA，同理证∠APB=∠ACB=60°，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得出∠APS=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△APS是等边三角形，由等边三角形的性质得∠S=∠APB，从而用“AAS”证△SAC≌△PAB，由全等三角形的对应边相等得出PB=SC，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；②根据题意得出当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE，设PO、CE的交点为M，连接OC，OB；首先判断出△OCE是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得出∠OCD=30°，由含30°角直角三角形的性质及勾股定理表示出DC，解直角三角形求出OM，由线段核查表示出PM，在Rt△PCM中，利用勾股定理求出PC，由内错角相等，两直线平行推出OB∥EC，由平行线的性质得出PO⊥OB，由等腰直角三角形的性质得出PB的长，进而根据（1）的结论求出PA；过点P、B分别作BC、EF的垂线，垂足分别为G、H，则四边形BHED是矩形，由矩形对边相等得出BH=DE=1，由同弧所对圆周角相等得∠BPC=∠BAC=60°，再根据等边对等角及角的构成推出∠OPC=15°，∠PEC=75°，∠PCB=45°，由∠PCB的正弦函数求出PG，进而再求出∠PBG的正弦函数值，由等角的同名三角函数值性质及正弦函数的定义可求出BF，从容即可求出答案.（1）略（2）①略②∵点P在优弧BAC上，∴当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE，如图所示，设PO,CE的交点为M，连接OC，OB，∵△ABC是等边三角形，AB=23∴BC=AB=23，∠BAC=60°∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OE⊥BC，∴DC=12BC=又∵OE=OC，∴△OCE是等边三角形，∴∠OCD=1∴OD=12OC∴OD=1，则OC=2，EC=OC=2，∵OM⊥EC,CD⊥OE，∴OM=CD=sin∴CM=1∴PM=OP+OM=2+3在Rt△PCM中，PC=P∵∠BOC=120°，OB=OC，∴∠OBC=OCB=30°，∴∠OBC=∠BCE=30°，∴OB∥EC，∵PO⊥EC，∴PO⊥OB，又∵OB=OP，∴∠PBO=∠BPO=45°，PB=2由（1）可得P在AB上，PC=PA+PB，∴PA=PC−PB=2如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H，则四边形BHED是矩形，BH=DE=OE−OD=2−1=1，∵∠BPC=∠BAC=60°，OP=OC，∴∠OPC=∠BPC−∠BPO=60°−45°=15°，∴∠PCE=90°−∠OPC=75°，∴∠PCB=∠PCE−∠BCE=75°−30°=45°，∴PG=PCsin∴sin∠PBG=∵BC∥ME，∴∠BFH=∠PBG，∴BF=BH∴PA+BFPB23．【答案】（1）1.2m，△GHE∽△GBA和△G'H'E'∽△G'BA

解：由题意可得，第一次测量：△GHE∽△GBA，∴EHAB=第二次测量：△G∴E'H∴2GB=∴1.2AB=∴此树的高度为AB+BC=AB+FG=15.6+0.8=16.4m．（2）解：由题意可得，FG=1.5m，∠AGB=26.7°，∠ADB=45°，GD=EF=16m在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=90°，∴AB=BD，在Rt△ABG中，tan∠AGB=ABBG∵tan26.7°≈0.50，∴AB16+AB≈0.50∴此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m．（3）解：不一致．原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】（1）解：由题意可得，EH=ED−HD=ED−FG=2−0.8=1.2m，∵EH∥AB,E∴图中两组相似三角形是△GHE∽△GBA和△G【分析】（1）易得四边形GFDH是矩形，由矩形对边相等得FG=DH=0.8m，然后根据EH=ED-HD可算出EH的长度；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△GHE∽△GBA，△G'H'E'∽△G'AB；利用相似三角形对应边成比例建立方程求出GB，AB即可；（2）易得△ABD是等腰直角三角形，且AB=BD，在Rt△AB