江苏省南通市2026年中考数学真题

江苏省南通市2026年中考数学真题1．计算5+（-3)，正确的结果是（)A．8 B．2 C．-2 D．-82．如图所示的四个几何体中，主视图是三角形的是（)圆柱正三棱柱球圆锥A．圆柱 B．正三棱柱 C．球 D．圆锥3．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACD的度数为（)A．130° B．120° C．100° D．50°4．实数13介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（)A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和55．二次函数y=1A．1 B．2 C．3 D．46．在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A)与电阻R（单位：Ω)的数据如下表所示.I/A456··R/Ω130a20已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（)A．24 B．25 C．26 D．287．一次函数y=2x−1的图像不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木.不知长短.引绳度之.余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长x尺，则可列一元一次方程为（)A．x+4.5=2（x+1) B．x-4.5=2（x+1)C．x+4.5=2（x-1) D．x-4.5=2（x-1)9．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图)，可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中a，b均为整数).下列算式中，能用这种方法进行计算的是（)A．25×25 B．33×27 C．46×44 D．85×5810．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM.小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论.小慧：∠BMC=36°；小丽：AMCMA．小慧和小丽的结论都正确B．小慧和小丽的结论都错误C．小慧的结论正确，小丽的结论错误D．小慧的结论错误，小丽的结论正确11．代数式2a−1有意义的条件是12．如图，直线a∥b，∠2=55°，则∠1的度数为.13．南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录.为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员.已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是.（写出一个即可)14．在“以美润心，诗画校园”方案征集活动中，学校美术兴趣小组为测量校内被池塘隔开的A，B两点之间的距离（如图)，在AB外选取一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E.若DE的长为40m，则A，B两点之间的距离为m.15．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE，垂足为G.若EG=3，则正方形ABCD的边长为.16．关于x的一元二次方程（ax（1）若a=1，b=c+1，则代数式c2−2c的值为（2）若m，n为不相等的非零实数，当a=m一n，b=n-mn，c=mn-m时，代数式2m−n2mn的值为17．（1）计算：∣2−（2）解方程组：x+y−1,18．先化简m+2+319．为强化劳动观念，弘扬劳动精神，学校倡导同学们积极承担家庭日常劳动.小明随机调查了该校50名学生一周家庭日常劳动时间，并绘制出如下未完成的统计图表.50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布表组别一周家庭日常劳动时间t/h频数A3≤t<44B4≤t<516C5≤↓<622D6≤t<7m合计50根据上述信息，解答下列问题.（1）m=，并将频数分布直方图补充完整.（2）这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在组.（3）若该校共有800名学生，根据以上调查结果，估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于5h的学生有多少人.20．2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战.在A，B，C，D四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动.（1）甲选B入口开展志愿服务活动的概率为.（2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率.21．如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=3（1）求k的值.（2）观察图像，直接写出不等式kx>322．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，CE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CA平分∠DCE.（2）若∠DCA=25°，AB=6，求AC的长.23．综合与实践：生活情境某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面8m，小孔顶点距水面5m.（1）建立模型如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式.（2）解决问题当水位上涨到距小孔顶点1m时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号)24．综合与探究：如图1，在▱ABCD中，∠BAC=60°，AB=8，AC=6，点E，F分别在边AB，CD上，且BE=DF.连接EF，交AC于点O.（1）求线段OF的最小值.（2）如图2，AOCF①求证：∠PBA=∠PCA；②分别记△PB□ABCD的面积为S1，S2，求S125．主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究.数学情境在平面直角坐标系xOy中，将点M（m，1)（m≥3)绕点O逆时针旋转得到点A.旋转角为α30∘≤α≤60（1）特例感知如图1，当m=3,α=45（2）猜想证明在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段CE，DE的大小关系，并说明理由.拓广探索（3）若ω·cosα=OC+OD，求实数ω的取值范围.

答案解析部分1．【答案】B【知识点】有理数的加法法则【解析】【解答】解：原式=5-3=2.故答案为：B.【分析】利用有理数的加法法则可得结论.2．【答案】D【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：主视图是三角形是圆锥，故答案为：D.【分析】根据三视图的观察方法进行判断.3．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质【解析】【解答】解：∵∠A=70°，∠B=60°，∴∠ACD=∠A+∠B=130°，故答案为：A.【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解.4．【答案】C【知识点】无理数的估值【解析】【解答】解：∵∴3<∴实数13介于3和4之间.故答案为：C.【分析】利用夹逼法估算13的范围，即可得出答案.5．【答案】D【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】解：二次函数y=12x2+2x+3,a=12>0,故答案为：D.【分析】先观察二次函数的图象，抛物线开口向上，当x>0时，y随x增大而增大，x=0时y=3，即可得到x>0时函数值的取值范围即可解答.6．【答案】A【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【解答】解：∵I是R的反比例函数，设函数解析式为R=UI，

把(4，30)代入，得30=U4，故R=120把I=5，代入，得R=120即a=24，故答案为：A.【分析】根据待定系数法求解函数解析式后求解.7．【答案】B【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：在一次函数y=2x−1中，k=2>0,b=−1<0，∴一次函数y=2x−1的图象经过一、三、四象限，∴图象一定不经过第二象限．故答案为：B．【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.8．【答案】C【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程【解析】【解答】解：设木头长x尺，则绳子长x+4.5尺，

根据题意得：x+4.52=x−1，即故答案为：C.【分析】根据“用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺”列出二元一次方程即可.9．【答案】B【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解-平方差公式【解析】【解答】解：根据图形可知，(10a+b)(10a-b)=(10a)2-b2，（a，b均为整数）且符合平方差公式，A、25×25，无法运用平方差公式，A不符合题意；B、33×27=(30+3)(30-3)=302-32，则a=3，b=3，B符合题意；C、46×44=(45+1)(45-1)=452-12，则a=4.5，b=1，所以a不是整数，C不符合题意；D、85×58=(71.5+13.5)(71.5-13.5)，则a，b均不是整数，D不符合题意，故答案为：B.【分析】根据题意，由图形的变化，得到平方差公式(10a+b)(10a-b)=(10a)2-b2，（a，b均为整数），逐一判断各选项，可得到结果．10．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，

∴∠BOC=360∘5=72∘,

∴∠BMC=12∠BOC=36∘,所以小慧的结论正确；

∵∴AM=PM，∵∠EPO=∠MPA=72°，∠AOE=72°，∴∠EPO=∠EOP，∴EP=OE=OM，

∴AM故答案为：A.【分析】连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图，根据正多边形的性质∠BOC=72∘,则根据圆周角定理得到∠BMC=12∠BOC=36∘,11．【答案】a≠1【知识点】分式有无意义的条件【解析】【解答】解：由2a−1有意义，得解得a≠12a−1有意义的条件是a≠1故答案为：a≠1.【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案.12．【答案】55°【知识点】两直线平行，同位角相等【解析】【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠2.又∵∠2=55°，∴∠1=55°.故答案为：55°.【分析】根据两直线平行，同位角相等解答即可.13．【答案】40（答案不唯一）【知识点】一元一次不等式的应用【解析】【解答】解：设新招募的成员人数为x，

∵社团现有成员35人，要求总人数不超过80，

∴可得不等式35+x≤80，

解得x≤45，

又∵人数是非负整数，

∴只要选取1到45之间的任意正整数都符合要求，可取40，

故答案为：40（答案不唯一）.

【分析】根据现有成员人数和总人数不超过80的条件，列不等式得到新招募人数的取值范围，选取范围内一个符合要求的正整数即可.14．【答案】80【知识点】三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×40=80m故答案为：80.【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解.15．【答案】2【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，则在正方形ABCD中，AB=AD=CD=2a，∠D=∠BAD=90°，∴∠BAG+∠EAD=90°，∵E是CD的中点，DE=∴AE=A∵EG=3，∴AG=AE−EG=5∵BF⊥AE，∴∠AGB=90°=∠D，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAD，∴△ABG∽△EAD，∴AGDE解得a=∴正方形ABCD的边长为2故答案为：2【分析】设正方形ABCD的边长为2a，先利用正方形的性质和勾股定理求得AE=5a，则AG=5a−3，证明△ABG~△EAD得到16．【答案】（1）-1（2）1【知识点】因式分解法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【解答】解：(1)由题知，因为关于x的一元二次方程ax所以b因为a=1，b=c+1，所以c+1整理得，c故答案为：-1；(2)由题知，因为a=m-n，b=n-mn，c=mn-m且b所以n−mn则n2+2mn2+m则n-2m+mn=0，所以2m-n=mn.因为m，n为不相等的非零实数，所以2m−n故答案为：1【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式进行计算即可；(2)利用一元二次方程根的判别式结合整体思想进行求解即可.17．【答案】（1）解：原式=2−=−2（2）解：x+y=1①2x−y=5②①+②，得3x=6，解得：x=2，把x=2代入①，得2+y=1，解得：y=−1，∴方程组的解为x=2y=−1【知识点】零指数幂；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）【解析】【分析】(1)根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，实数的绝对值进行计算即可；(2)利用加减消元法解方程组即可.18．【答案】解：原式==2(m+1)，∵m=1或2时，原分式无意义，当x=-1时，原式=2×(-1+1)=0.【知识点】分式的化简求值-择值代入【解析】【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可.19．【答案】（1）解：8；补全频数分布直方图如图所示.50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布直方图​​​​​​​（2）C（3）解：800×22+8∴估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于5h的学生有480人.【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量【解析】【解答】解：(1)由题意可得，m=50-4-16-22=8，故答案为：8；(2)样本容量为50，故中位数应该是第25和26个数据的平均数，A、B组的频数之和为4+16=20，故这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在C组，故答案为：C；【分析】(1)根据各组的频数之和等于50可求得m的值；根据所求m的值直接补全频数分布直方图即可；(2)根据中位数的定义求解；(3)根据用样本估计总体，用800乘以样本中一周家庭日常劳动时间不少于5h的频率之和，即可得出答案.20．【答案】（1）1（2）解：列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的结果有4种，∴甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为4【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式【解析】【解答】解：(1)∵在A，B，C，D四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动.∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为14,

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；(2)列表得出共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的结果有4种，再由概率公式求解即可.21．【答案】（1）解：∵点A的横坐标为1，点A在反比例函数y=3∴当x=1时，y=3，∴点A的坐标13又∵点A在正比例函数y=kx的图象上，∴3=k×1，∴k=3；（2）：−1<x<0或x>1【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的概念【解析】【解答】解：(2)由(1)可知：正比例函数的表达式为：y=3x，解方程组：y=3xy=3x，得x=1∴点B−1根据函数的图象得：不等式kx>3x的解集为：−1<x<0或【分析】(1)将x=1代入y=3x之中得y=3，由此得点A13，再将点(2)解方程组：y=3xy=3x，得x=1y=3或x=−1y=−322．【答案】（1）证明：连接OC，如图，

∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，即∠OCA+∠DCA=90°，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ECA+∠OAC=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DCA=∠ECA，∴CA平分∠DCE；（2）解：∵∠DCA=∠ECA=25°，∴∠OCE=90°-25°-25°=40°，∴∠COE=90°-40°=50°，∴AC的长度【知识点】切线的性质；弧长的计算；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余【解析】【分析】(1)连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD=90°，即∠OCA+∠DCA=90°，由于∠ECA+∠OAC=90°，∠OCA=∠OAC，则∠DCA=∠ECA，从而得到结论；(2)先由(1)的结论得到∠DCA=∠ECA=25°，再利用互余计算出∠OCE=40°，所以∠COE=50°，然后根据弧长公式求解.23．【答案】（1）解：以大孔抛物线顶点为原点O，y轴为对称轴、向上为正，则抛物线开口向下，顶点(0，0)，设y=ax故水面与抛物线交于(±10，−8)(水面在大孔顶点下方8m)，代入(10，-8)可得：−8=a⋅10∴a=−8答：大孔抛物线表达式为y=−2（2）解：正常水位对应y=−8，小孔顶点距水面5m且在水面上方，故小孔顶点的纵坐标为−8+5=−3，警戒水位距小孔顶点1m(水面在小孔顶点下方1m)，此时水面纵坐标为−3−1=−4，将y=−4代入大孔抛物线可得：−2∴x∴x=±50大孔水面宽度为两交点间距：2×52答：警戒水位时大孔的水面宽度为102【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式【解析】【分析】(1)由顶点在原点、开口向下设y=ax(2)先由正常水位线y=-8与小孔顶点高出水面5m定出小孔顶点纵坐标-3，再据警戒时水面在小孔顶点下1m得水面y=-4，代入大孔解析式解出水平坐标，两交点间距即为宽度.​​​​​​​24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠CAE=∠ACF=60°，∵BE=DF，∴AB-BE=CD-DF，即AE=CF，又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OA=OC=12∴OG=OCsin∠OCF=3×32=32∴线段OF的最小值为3（2）①证明：如图，线段OE，BC的垂直平分线分别为PN、PM，连接PE、PO，由垂直平分线的性质可知.PB=PC，PE=PO，

∵OA=OC=3,AOCF=35,

∴AE=CF=5,

∴BE=AB−AE=8−5=3,②解：如图，设AB与PC交于点K，过点C作CH⊥AB于点H，∵CH=AC⋅sin∠BAC=6sin60∘=33,AH=AC⋅cos∠BAC=6cos60∘=3,又∵PB=PC,∴△PBC是等边三角形，

∴∠PBC=60∘,PB=PC=BC=213,

∴PM=PB⋅sin【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系【解析】【分析】(1)根据平行四边形性质结合已知证明△AOE≅△COF(AAS),可得O是AC的中点，是定点，由此可知线段OF的最小值是点O到CD的距离，过点O作OG⟂CD,可得OG=OCsin(2)①根据已知可以计算出.AE=CF=5，BE=AB-AE=3，由此得出BE=CO，再根据垂直平分线性质可得PB=PC，PE=PO，由此证明△BPE≅△CPO(SSS),即可得出∠PBA=∠PCA;②根据∠PBA=∠PCA,，结合8字型模型可以证明∠BPC=∠BAC=60°，得出△PBC是等边三角形，利用解三角形求出△PBC，▱ABCD的面积即可解题.​​​​​​​25．【答案】（1）解：∵m=3，

∴M(3，1)，

∴OM=由旋转知，OA=OM=∵点A关于直线OM的对称点为B，

∴OB=OA=10,∠BOM=∠AOM=45∘,

（2）解：由题意作出图形如图2所示，CE=DE，理由：设点A∵点A关于直线OM的对称点为B，∴点E是AB的中点，∴E∵AC⟂x轴于C，.BD⟂x轴于D，

∴CxA0,DxB∴CE=DE；（3）解：过点E作EH⊥x轴于H，则∠OHE=90°，CH=DH，∴OC+OD=OH−CH+OH+DH=2OH,

∵w⋅∴2OH=w⋅cosα,在Rt△OHE过点M作MG⟂x轴于G，则∠OGM=9∵M(m，1)，

∴OG=m,在Rt△OGM中，cos∠MOD=OG由(1)知，OM=OA，

∴OHOG∵点A关于直线OM的对称点为B，

∴∠AEO=9在Rt△OEA中，cosα=cos∠AOE=OEOA,∴w=2m，∵m≥3，∴w≥6.【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式【解析】【分析】(1)先求出OM=10,再判断出(2)由题意作出图形如图2所示，设点AxAyA,BxB(3)过点E作.EH⟂x轴于H，则∠OHE=90∘,CH=DH，进而判断出2OH=w⋅cosα,，过点M作MG⟂x

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）38.0(25.3%)主观题（占比）112.0(74.7%)题量分布客观题（占比）12(48.0%)主观题（占比）13(52.0%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）解答题（本大题共9小题，共94分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)9(36.0%)94.0(62.7%)选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)10(40.0%)30.0(20.0%)填空题（本大题共6小题，第11~15题每小题4分，第16题每空3分，共26分)6(24.0%)26.0(17.3%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(52.0%)2容易(40.0%)3困难(8.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1根据一元二次方程的根的情况求参数6.0(4.0%)162圆内接正多边形3.0(2.0%)103频数（率）分布表10.0(6.7%)194三角形的中位线定理4.0(2.7%)145等腰三角形的性质-等边对等角13.0(8.7%)10,226实数的混合运算（含开方）10.0(6.7%)177相似三角形的判定-AA4.0(2.7%)158解直角三角形—三边关系（勾股定理）13.0(