2025-2026年浙江省部编版高二数学下册第6章同步练习题

2025-2026年浙江省部编版高二数学下册第6章同步练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在《2025-2026年浙江省部编版高二数学下册第6章》中，若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)的图像经过原点，则下列关于a、b、c关系的正确表述是（）A.a+b+c=0且a≠0B.a-b+c=0且b≠0C.a+b-c=0且c≠0D.a-b-c=0且a≠02.根据教材第6章例3，若曲线y=x^3-3x^2+2x与直线y=kx相切于点P(1,0)，则实数k的值为（）A.-1B.1C.-2D.23.教材第6章习题5指出，函数f(x)=x^3-3x+1的图像在区间(-2,2)上至少存在一个拐点，下列关于该拐点横坐标x_0的判断正确的是（）A.x_0∈(-1,1)B.x_0∈(-2,-1)∪(1,2)C.x_0∈(-2,-1)D.x_0∈(1,2)4.根据第6章同步练习第7题，若函数y=1/(x^2-2x+3)在区间[1,3]上的最小值为m，最大值为M，则m+M的值为（）A.1B.2C.3D.45.教材第6章第2节提到，若函数f(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，则p、q应满足的关系式为（）A.p=1且q=0B.p=2且q=-1C.p=3且q=1D.p=4且q=26.根据第6章例9，函数y=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为（）A.4B.6C.8D.107.教材第6章习题12要求计算定积分∫[0,π/2]sin^3x•cos^2xdx的值，下列计算方法正确的是（）A.直接展开sin^3x后积分B.利用对称性简化积分区间C.令u=sinx，转化为关于u的积分D.令v=cosx，转化为关于v的积分8.根据第6章第4节，若函数f(x)=xlnx在x=e处取得拐点，则其三阶导数f'''(e)的值为（）A.1/eB.1C.eD.e^29.教材第6章例15讨论了函数y=x^3-3x^2+2x在x=0处的曲率，若将曲率计算公式中的y''替换为f''(x)，则计算结果为（）A.0B.1C.2D.310.根据第6章同步练习第20题，函数y=xe^(-x^2)在区间[-1,1]上的最大值为（）A.1/eB.1/e^2C.1D.2二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.根据教材第6章第1节，若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的切线斜率为-1，则实数k的值为__________。2.教材第6章例4指出，函数y=1/(x^2+1)在x=1处的曲率半径为π/2，则其二阶导数y''(1)的值为__________。3.根据第6章习题8，函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为__________。4.教材第6章第3节提到，若函数y=x^3-px^2+q在x=1和x=-1处均取得极值，则p+q的值为__________。5.根据第6章同步练习第11题，定积分∫[0,1]x^2•(1-x)^3dx的值为__________。6.教材第6章例10讨论了函数y=|x-1|在区间[0,2]上的积分，其积分结果为__________。7.根据第6章习题15，函数y=xlnx在x=e处的曲率为__________。8.教材第6章第5节指出，函数y=x^3-3x^2+2x的拐点坐标为__________。9.根据第6章同步练习第18题，函数y=xe^(-x^2)在x=0处的二阶导数值为__________。10.若函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)的图像经过原点，则p-q的值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.根据教材第6章第1节，若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导函数f'(x)在x=c处必为0。（）2.教材第6章例5指出，函数y=1/(x^2+1)在x=0处的曲率半径为1。（）3.根据第6章习题9，函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最小值出现在x=1处。（）4.教材第6章第2节提到，若函数y=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，则p=2q。（）5.根据第6章同步练习第13题，定积分∫[0,π]sin^2xdx的值为π/2。（）6.教材第6章例8讨论了函数y=|x|在区间[-1,1]上的积分，其积分结果为1/3。（）7.根据第6章习题14，函数y=xlnx在x=1处的曲率等于1/e。（）8.教材第6章第4节指出，函数y=x^3-3x^2+2x的拐点必在x=1处。（）9.根据第6章同步练习第19题，函数y=xe^(-x^2)在x=0处的二阶导数值为0。（）10.若函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)的图像经过原点，则p-q=1。（）四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.根据教材第6章第1节，已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求其导函数f'(x)，并确定其单调递增和单调递减区间。2.教材第6章例7讨论了函数y=1/(x^2+1)的凹凸性，请写出其二阶导数y''(x)，并确定其凹凸区间和拐点。3.根据第6章习题10，函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)的图像经过原点，求p、q的取值范围。4.教材第6章第3节提到，若函数y=x^3-px^2+q在x=1和x=-1处均取得极值，请证明p+q=0。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.根据教材第6章例9，函数y=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为S，请计算S的值。2.教材第6章习题12要求计算定积分∫[0,1]xe^(-x^2)dx的值，请写出其计算过程，并说明使用了哪些积分技巧。3.根据第6章同步练习第17题，已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为M，请计算M的值。4.教材第6章第5节讨论了函数y=x^3-3x^2+2x的拐点，请确定其拐点坐标，并说明在拐点处函数的曲率半径有何特点。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：由f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，得f'(1)=3a+2b+c=0；由f'(x)的图像经过原点，得f'(0)=c=0。代入前式得a+b=0，即a=-b。选项A正确。2.B解析：由相切条件得f(1)=0且f'(1)=k，即1-3+2=0且3-6+2=k，解得k=1。3.A解析：f'(x)=3x^2-6x，f''(x)=6x-6。令f''(x)=0得x=1。在(-1,1)区间内f''(x)<0，故x=1为拐点。4.B解析：y'=1/(x^2-2x+3)^2•(-2x+2)。令y'=0得x=1。比较y(1)=1/(1-2+3)=1和y(3)=1/(9-6+3)=1/6，故m=1/6，M=1，m+M=7/6。5.C解析：f'(x)=3x^2-p。令f'(1)=0和f'(-1)=0得3-p=0和3+p=0，解得p=3，q任意。6.C解析：y'=x^2-2。令y'=0得x=±√2。计算y(-√2)=4√2，y(√2)=4√2，y(0)=0。面积S=2[∫[-√2,0]|x^3-2x|dx+∫[0,√2]|x^3-2x|dx]=8√2。7.C解析：令u=sinx，则du=cosxdx。积分区间变为[0,1]，∫[0,1]u^3(1-u^2)du=∫[0,1](u^3-u^5)du=1/4-1/6=1/12。8.B解析：f'(x)=3x^2-6x，f''(x)=6x-6。令f''(e)=0得x=e，f'''(x)=6。9.A解析：曲率公式K=|y''|/[(1+y'^2)^(3/2)]。在x=0处y'=0，y''=2。代入公式得K=2。10.A解析：y'=e^(-x^2)+x•(-2x)e^(-x^2)=e^(-x^2)(1-2x^2)。令y'=0得x=1/√2。计算y(1/√2)=1/e。二、填空题1.-4解析：f'(x)=3x^2-6x+2。f'(2)=12-12+2=2≠-1，故k=-2。2.-2解析：y'=(-2x)/(x^2+1)^2。y''=-2[(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)]=2(3x^2-1)/(x^2+1)^3。y''(1)=2/4=1/2。3.8解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-10，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=10。最大值10，最小值-10，差为20。4.0解析：f'(x)=3x^2-2px。令f'(1)=0和f'(-1)=0得3-2p=0和3+2p=0，解得p=3/2，q任意。p+q=3/2。5.1/12解析：令u=1-x，则du=-dx。积分区间变为[1,0]，∫[0,1]x^2(1-x)^3dx=∫[1,0](1-u)^2u^3(-du)=∫[0,1](u^3-2u^4+u^5)du=1/12。6.3解析：y=|x-1|在[0,1]上为1-x，在[1,2]上为x-1。∫[0,1](1-x)dx+∫[1,2](x-1)dx=1/2+1/2=1。7.1/e^2解析：y'=lnx+1，y''=1/x。y''(e)=1/e。曲率K=|1/x|/[(1+(lnx+1)^2)^(3/2)]在x=e处为1/e^2。8.(1,0)解析：f''(x)=6x-6。令f''(x)=0得x=1。f(1)=1-3+2=0。9.2解析：y'=e^(-x^2)+x•(-2x)e^(-x^2)=e^(-x^2)(1-2x^2)。y''=-2xe^(-x^2)+e^(-x^2)(-4x)=e^(-x^2)(-2x-4x)=e^(-x^2)(-6x)。y''(0)=0。10.1解析：f'(x)=3x^2-p。f'(1)=3-p=0得p=3。f''(x)=6x。f''(1)=6≠0。p-q=3-q=1。三、判断题1.×解析：极值点处导数可能为0也可能不存在，如y=|x|在x=0处取得极值但导数不存在。2.×解析：y''=-2/(x^2+1)^3。y''(0)=-2≠1。3.×解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或2。f(-2)=-10，f(0)=0，f(2)=-4。最小值-10。4.×解析：f'(x)=3x^2-p。令f'(1)=0和f'(-1)=0得3-p=0和3+p=0，解得p=0。5.×解析：∫[0,π]sin^2xdx=π/4。6.×解析：∫[-1,1]|x|dx=2∫[0,1]xdx=1。7.×解析：y''=1/x^2。y''(1)=1。曲率K=1/[(1+1)^(3/2)]=1/(2√2)。8.×解析：f''(x)=6x-6。令f''(x)=0得x=1。f(1)=0。但需验证凹凸性，(-∞,1)凹，(1,+∞)凸，故x=1为拐点。9.×解析：y''=e^(-x^2)(-6x)。y''(0)=0。10.×解析：p=3。p-q=3-q=1得q=2。需验证f''(1)=6≠0。四、简答题1.解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞,1-√3/3)时f'(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时f'(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,+∞)时f'(x)>0，单调递增。2.解：y'=(-2x)/(x^2+1)^2。y''=-2[(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)]=2(3x^2-1)/(x^2+1)^3。令y''=0得x=±1/√3。当x∈(-∞,-1/√3)时y''>0，凹；当x∈(-1/√3,1/√3)时y''<0，凸；当x∈(1/√3,+∞)时y''>0，凹。拐点为(±1/√3,1/2)。3.解：f'(x)=3x^2-p。令f'(1)=0得3-p=0，即p=3。f''(x)=6x。f''(1)=6≠0，故x=1处为极值点。由f'(x)图像过原点得f'(0)=0，即p=0矛盾。故p=3，q任意。4.证明：f'(x)=3x^2-2px。令f'(1)=0和f'(-1)=0得3-2p=0和3+2p=0，解得p=3/2。f(x)=x^3-3/2x^2+q。f''(x)=6x-3。令f''(x)=0得