2026年苏教版高中数学必修第三册第8章数列测试卷及答案

2026年苏教版高中数学必修第三册第8章数列测试卷及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且S_n=n(a_n+1)，则a_3等于（）A.4B.5C.6D.82.在等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=31，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-12B.2n-10C.3n-15D.3n-173.已知等比数列{b_n}的公比为q，且q≠1，若b_1+b_2=6，b_2+b_3=18，则q等于（）A.2B.-2C.3D.-34.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=(n+1)(c_n+1)（n∈N*），则c_4等于（）A.64B.120C.125D.1285.等差数列{a_n}中，a_1=-5，公差d=2，则其前10项和S_10等于（）A.80B.85C.-80D.-856.设{a_n}是等比数列，a_2=6，a_4=54，则a_3+a_5等于（）A.60B.66C.70D.727.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则b_n等于（）A.2^n-1B.2^(n-1)C.2^n-2^(n-1)D.2^(n-1)-2^(n-2)8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=12，a_2+a_4+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.已知等比数列{c_n}的公比q=-2，且前3项和为6，则该数列的首项b_1等于。10.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n(n+1)，则该数列的前n项和S_n=。11.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+n^2（n∈N*），则b_5=。12.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_6=36，S_12=132，则S_9=。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.（本小题满分12分）已知数列{a_n}是等差数列，a_3=5，a_7=9。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）若该数列的前n项和为S_n，求S_10的值。14.（本小题满分12分）已知数列{b_n}是等比数列，b_1=3，公比q≠1，且b_1+b_2+b_3=13。（1）求公比q；（2）求b_4+b_5+b_6的值。15.（本小题满分14分）已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=c_n+n（n∈N*）。（1）求证：数列{c_n}是等差数列，并求其通项公式；（2）设d_n=c_n/(n+1)，求证：数列{d_n}是等比数列，并求其通项公式。16.（本小题满分14分）在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d>0，其前n项和为S_n。若S_4与S_8的等差中项为36。（1）求公差d；（2）是否存在正整数m，使得a_m=99？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。17.（本小题满分16分）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+an-n，其中a是常数。（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求其通项公式b_n；（2）若数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n/n是关于n的等差数列，求常数a的值。18.（本小题满分16分）已知数列{a_n}的首项a_1=1，且对于任意正整数n，都有a_n*a_(n+1)=n(n+1)+a_n-a_(n+1)。（1）求a_2和a_3的值；（2）猜测数列{a_n}的一个通项公式，并证明你的结论。试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.D5.B6.D7.C8.A二、填空题9.210.n(n+1)(n+2)/311.5512.90三、解答题13.解：（1）设数列{a_n}的公差为d。由a_3=5，a_7=9，得a_1+2d=5a_1+6d=9解得a_1=1,d=4/3。所以a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)*(4/3)=(4n-1)/3。（2）S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(1+(4n-1)/3)=n/2*(4n+2)/3=n(2n+1)/3。所以S_10=10*(2*10+1)/3=10*21/3=70。14.解：（1）由b_1+b_2+b_3=13，得3b_1+3q+3q^2=13，即b_1(1+q+q^2)=13。因为b_1=3，所以3(1+q+q^2)=13，即1+q+q^2=13/3。解得q=2或q=-5/3。（2）当q=2时，b_4+b_5+b_6=b_1*q^3+b_1*q^4+b_1*q^5=3*(2^3+2^4+2^5)=3*(8+16+32)=3*56=168。当q=-5/3时，b_4+b_5+b_6=b_1*q^3+b_1*q^4+b_1*q^5=3*((-5/3)^3+(-5/3)^4+(-5/3)^5)=3*(-125/27+625/81-3125/243)=3*(-375+625-3125)/243=3*(-1875)/243=-1875/81=-25*75/(3*27)=-25*25/27=-625/27。所以b_4+b_5+b_6的值为168或-625/27。15.解：（1）证明：当n=1时，c_2=c_1+1=2+1=3。所以c_2-c_1=1。当n≥2时，c_n=c_(n-1)+(n-1)。所以c_n-c_(n-1)=n-1。因此，数列{c_n}的相邻两项之差为n-1，是一个关于n的函数，所以{c_n}是等差数列。公差d=c_2-c_1=1。c_1=2。所以a_n=c_n=c_1+(n-1)d=2+(n-1)*1=n+1。（2）证明：d_n=c_n/(n+1)=(n+1)/(n+1)=1(n∈N*)。设d_{n+1}=(n+2)/(n+2)=1。所以d_{n+1}/d_n=1/1=1(常数)。又d_1=1/2。所以数列{d_n}是首项为1/2，公比为1的等比数列。a_n=d_n=(1/2)*(1/1)^(n-1)=1/2。16.解：（1）由S_4=4/2*(a_1+a_4)=2*(1+(1+3d))=8+12d。S_8=8/2*(a_1+a_8)=4*(1+(1+7d))=8+32d。S_4与S_8的等差中项为(S_4+S_8)/2=(8+12d+8+32d)/2=16+22d。由题意，16+22d=36，解得d=1。（2）a_m=a_1+(m-1)d=1+(m-1)*1=m。要使a_m=99，则m=99。m为正整数，符合条件。所以存在正整数m=99，使得a_m=99。17.解：（1）证明：b_1=S_1=1^2+a*1-1=a。当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+an-n)-((n-1)^2+a(n-1)-(n-1))=n^2+an-n-(n^2-2n+1+an-a-n+1)=n^2+an-n-n^2+2n-1-an+a+n-1=2n-2+a。当n=1时，b_1=a=2*1-2+a，等式成立。所以b_n=2n-2+a(n∈N*)。b_(n+1)-b_n=[2(n+1)-2+a]-[2n-2+a]=2。所以数列{b_n}是等差数列，公差为2，首项为a。a_n=b_1+(n-1)*2=a+2(n-1)=2n+a-2。（2）S_n/n=(n^2+an-n)/n=n+a-1。S_(n+1)/(n+1)=((n+1)^2+a(n+1)-(n+1))/(n+1)=(n^2+2n+1+an+a-n-1)/(n+1)=(n^2+(a+1)n+a)/(n+1)=n+(a-1)+a/(n+1)。(S_(n+1)/(n+1))-(S_n/n)=[n+(a-1)+a/(n+1)]-[n+a-1]=a/(n+1)。要使S_n/n是关于n的等差数列，则(S_(n+1)/(n+1))-(S_n/n)必须为常数，与n无关。所以a/(n+1)必须为常数。这只有当a=0时才成立。当a=0时，S_n/n=n-1。所以常数a的值为0。18.解：（1）由a_n*a_(n+1)=n(n+1)+a_n-a_(n+1)，得a_(n+1)*(a_n+a_(n+1))=n(n+1)。所以a_(n+1)*S_n=n(n+1)。当n=1时，a_1*S_1=1*2。因为a_1=1，所以S_1=2。当n≥2时，a_n*S_(n-1)=(n-1)n。两式相除，得a_(n+1)/a_n=n(n+1)/(n-1)n=(n+1)/(n-1)。所以a_2/a_1=2/1，a_3/a_2=3/2，a_4/a_3=4/3，...a_n=a_1*(a_2/a_1)*(a_3/a_2)*...*(a_n/a_(n-1))=1*2*3*...*n/(1*2*3*...*(n-1))=n。所以a_2=2，a_3=3。（2）由（1）知，a_n=n。猜想a_n=n。证明：数学归纳法。基础步骤：n=1时，a_1=1