2020年北京市五中分校初三（上）期中数学试卷及答案

2020北京五中分校初三(上)期中一、选择题(本题共16分，每小题2分)1.(2分)下列图案中，是中心对称图形的是()2.(2分)如图，点A,B,C在⊙O上，若∠AOB=70°,则∠ACB的度数为()A.35°B.40°4.(2分)将抛物线y=2x²向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()C.y=2(x+1)²-3D.5.(2分)如图，⊙O的半径为5,AB为弦，OC⊥AB,垂足为E,如果CE=2,那么AB的长是()A.4B.86.(2分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，长为()A.4B.2√27.(2分)如图，直线y₁=2x和抛物线y₂=-x²+4x,当y₁>y₂时，x的取值范围是()A.0<x<2B.x<0或x>2C.x<0或x>4D.0<x<48.(2分)已知0⊙,如图，(1)作⊙O的直径AB;(2)以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C,D两点；(3)连接CD交AB于点E,连接AC,BC.二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.(2分)在平面直角坐标系xOy中，点(4,-5)关于原点的对称点坐标是·10.(2分)已知在△ABC中，∠C=90°,AB=6,BC=5,则sin∠A=11.(2分)小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店12.(2分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA',其中A(-2,13.(2分)如图，⊙O的直径AB=4,点C在⊙O上，∠ABC=30°,则AC的长是14.(2分)如图，在△AOB中，∠AOB=90°,∠B=30°,△A'OB'是由△AOB绕点0顺时针旋转a(a<180°)角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α=15.(2分)如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A,在近岸取点D,B,使得A,D,B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m,然后又在垂直AB的直线上取点C,并量得BC=30m.如果DE=20m,则河宽AD为m.16.(2分)如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分，有下列4个结论：①abc>0;②b²-4ac>0;③关于x的方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-2,x₂=3;④关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集是x>-2.其中三、解答题(本题共68分)17.(5分)解方程：2x²-3x-2=0.18.(5分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H,∠A=30°,CD=4√3,求◎O的半径的长.19.(5分)如图，正方形ABCD的边长为4,E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F.20.(5分)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…01……44m…(2)求此二次函数的解析式.21.(5分)关于x的一元二次方程(k-2)x²-4x+2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k²+mk+1=0的根，求m的值.22.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与函数(x>0)的图象交于点A(1,m),与x(1)求m,k的值；(2)过动点P(0,n)(n>0)点D.23.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙0与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求CF的长.24.(6分)某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶.市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶.若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天25.(6分)有这样一个问题：探究函数y=x²-4x|+3的图象与性质.(3)对于上面的函数y=x²-4|x|+3,下列四个结论：④函数图象与x轴有2个公共点.若关于x的方程x²-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是_26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+2mx-3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,AB=4.(2)求抛物线的解析式(化为一般式);27.(7分)如图1,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A=90°,∠E=90°,△DEF的顶点D恰好落在△(1)于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想.如图2,当MN//BC时，图128.(7分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1,对于⊙0和◎O外的点P,给出如下的定义：若在⊙0上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为⊙O的近距点.(3)若点P在直线y=x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标xp的取值范围.2020北京五中分校初三(上)期中数学一、选择题(本题共16分，每小题2分)1.【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可.【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.2.【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.3.【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点判断出x<0时函数图象所在的象限即可.【解答】解：∵反比例函数∴当x<0时函数的图象在第三象限.【点评】本题考查的是反比例函数的性质及各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.4.【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式.【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为(0,0),∴平移后抛物线的顶点为(1,3),【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不顶点是解决本题的突破点.5.【分析】连接OA,由于半径OC⊥AB,利用垂径定理可知AB=2AE,又CE=2,OC=5,易求OE,在Rt△【解答】解：连接OA,∵半径OC⊥AB,【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6.【分析】如图，设CP交⊙0于点D,连接AD.由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2;然后在等边△AOD中得到AD=OA=2;最后通过解直角△ACD来求AC的长度.【解答】解：如图，设CP交⊙O于点D,连接AD.设⊙O的半径为r.易证△AOD是等边三角形，则AD=OA=2,,∴两函数图象交点坐标为(0,0),(2,4),所以③正确.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、作图-复杂作图，解决本题的关键是二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案.【解答】解：点(4,-5)关于原点的对称点坐标是(-4,5),【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的数、纵坐标互为相反数.10.【分析】根据三角函数的定义解决问题即可.2250(1-x)²=1000.故答案为：2250(1-x)²=1000.(1±x)=a(1±x)².增长用“+”,下降用“-”.故答案为(3,2).可.*即∵抛物线y=ax²+bx+c经过点(-2,0),∴点(-2,0)关于直线的对称点(3,0)在抛物线上，故答案为②③.数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0),△决定：△=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=三、解答题(本题共68分)质得出AC=2CH=4√3,AC=√3BC=4√3,AB=2BC,得出BC=4,AB=8,求出OA=4即可.在Rt△ABC中，∠A=30°,即⊙O的半径长是4.周角定理和垂径定理是解题的关键.19.【分析】(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可.(2)分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE//AD,此时∠DAE=∠PEF,∠D=∠PFE=90°,可得△PEFO【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，∠D=90°,CD//AB,(2)解：当PA=PB=2时，∵DE=EC,AP=PB,综上所述，满足条件的PA的值为2或5.【解答】解：(1)根据图表可知：二次函数y=ax²+bx+c的图象过点(0,4),(-2,4),(2)∵对称轴是直线x=-1,将(0,4)代入【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法熟练求解函数对称轴是解题的关键.21.【分析】(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-2≠0且△=(-4)²-4(k-2)×2>0,然后(2)满足条件的k的值为3,然后把k=3代入k²+mk+1=0得9+3m+1=0,然后解关于m的方程即可.【解答】解：(1)根据题意得k-2≠0且△=(-4)²-4(k-2)×2>0,(2)符合条件的最大整数k=3,把k=3代入k²+mk+1=0得9+3m+1=0,解得【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根与△=b²-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根.22.【分析】(1)先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入得到k的值；(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；②先确定(-3,0),由于C、D的纵坐标都为n,根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出),D(n-3,n),讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到,解得n1=2,n₂=-2(舍去),再结合图象可判断当0<n≤2时，CD≥OB;当点C在点D的左侧时，先利用CD=OB得到解得n₁=3+√13,n₂=3-√13(舍去),再结合图象可判断当n≥3+√13时，CD≥OB.【解答】解：(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m),(2)①当n=2时，点P的坐标为(0,2),当y=2时，解得x=2,∴点C的坐标为(2,2),∴点D的坐标为(-1,2),若CD=OB,即,解得n₁=2,n₂=-2(舍去),数解析式.23.【分析】(1)如图，连结OD,欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED;【解答】(1)证明：如图，连接OD,AD,(2)解：∵⊙O的半径为2,AB=AC,过0作OH⊥AB于H,FFFF【解答】解：(1)每天的销售量为(60-5x)瓶，每瓶洗手液的利润是(4+x)元；(2)根据题意得，(60-5x)(4+x)=300,(3)根据题意得，y=(60-5x)(4+x)=-5(【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.25.【分析】(1)根据函数解析式可以写出x的(2)根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；(3)根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；【解答】解：(1)∵函数y=x²-4|x|+3,(3)由图象可得，(4)由图象可得，关于x的方程x²-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1<k<3,故答案为：-1<k<3.xx【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.26.【分析】(1)由对称轴为直线,可求解；(3)设向左平移后的解析式为：y=(x+1+n)²-4,设向右平移后的解析式为：y=(x+1-n)²-4,利用特殊点代入可求解.【解答】解：(1)∵抛物线y=mx²+2mx-3的对称轴为直线1,AB=4,故答案为：x=-1,(-3,0);(2)∵抛物线y=mx²+2mx-3过点B(1,0),∴抛物线的解析式：y=x²