1.2 菱形的性质与判定（第2课时）课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

菱形的判定1.2菱形的性质与判定（第2课时）北师大版数学九年级上册｜第一章特殊平行四边形北师大版·九年级数学上册1/21学习目标与本课路线学习目标①经历菱形判定定理的探究过程，理解三条判定方法的来由；②掌握「四边相等」「对角线互相垂直的平行四边形」「一组邻边相等的平行四边形」三种判定方法；③能选择合适的方法进行几何证明与计算。本课学习路线复习导入四边相等判定对角线垂直判定方法汇总与例题达标检测与小结北师大版·九年级数学上册2/2101一、复习导入回顾菱形的定义与性质，想一想：平行四边形满足什么条件时就是菱形？北师大版·九年级数学上册3/21回顾：菱形的定义与性质菱形是特殊的平行四边形，它有三条特殊性质。定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴。追问：把性质定理的条件与结论反过来，能用来判定菱形吗？ABCDO菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O北师大版·九年级数学上册4/21动手操作：把平行四边形剪成菱形①动手操作两人一组，把准备好的平行四边形纸片剪成菱形，并说明操作的依据。②操作依据把平行四边形的一组邻边剪成相等，即得到一组邻边相等的平行四边形。③判定方法一（定义法）有一组邻边相等的平行四边形是菱形ABCD平行四边形ABCDABCD菱形ABCD几何语言∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形。北师大版·九年级数学上册5/21二、四边相等的四边形是菱形02由菱形性质「四条边相等」出发，写出它的逆命题；再猜想并证明：四条边相等的四边形是菱形。北师大版·九年级数学上册6/21思考·交流：四条边相等的四边形一定是菱形吗由性质定理出发性质定理：菱形的四条边相等↓交换题设与结论逆命题：四条边相等的四边形是菱形猜想四条边相等的四边形是菱形证明思路若AB=BC=CD=DA，则由AB=CD、BC=DA得两组对边分别相等，四边形ABCD是平行四边形；再由AB=BC，用定义法即可判定它是菱形。ABCD四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA北师大版·九年级数学上册7/21判定定理一的证明已知·求证已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：四边形ABCD是菱形。证明∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。点评：由四边相等「退一步」得到平行四边形，再回到定义。ABCD四边相等：AB=BC=CD=DA北师大版·九年级数学上册8/21判定定理一：四边相等的四边形是菱形判定定理一四条边相等的四边形是菱形。几何语言∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形。提醒该定理的题设是任意四边形，不需要先证明它是平行四边形，这是它相对另外两种判定更直接的地方。ABCDAB=BC北师大版·九年级数学上册9/2103三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形由菱形性质「对角线互相垂直」出发，写出它的逆命题猜想并证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形北师大版·九年级数学上册10/21思考·交流：对角线互相垂直的平行四边形是菱形逆命题如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。已知·求证如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD。求证：□ABCD是菱形。证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA=BC。∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。ABCDAC⊥BDOA=OC北师大版·九年级数学上册11/21判定定理二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理二对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（前提：这个四边形是平行四边形）几何语言∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。提醒用这个定理时必须先说明「四边形是平行四边形」，前提条件不能丢；直接说「对角线互相垂直的四边形是菱形」是错的。ABCDAC⊥BD北师大版·九年级数学上册12/2104四、判定方法汇总与例题对比三种判定方法的题设条件与符号语言用尺规作菱形、用例题体会判定方法的选择北师大版·九年级数学上册13/21菱形的三种判定方法先看清题设条件，再选择对应的判定方法判定方法题设条件符号语言定义法平行四边形，且有一组邻边相等∵□ABCD，AB=BC，∴

ABCD定理一四边形的四条边都相等∵AB=BC=CD=DA，∴

ABCD定理二平行四边形，且对角线互相垂直∵□ABCD，AC⊥BD，∴

ABCD注：□表示平行四边形，

表示菱形；定义法与定理二都必须先有平行四边形。北师大版·九年级数学上册14/21尝试·交流：尺规作菱形问题已知线段a，用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。作法①作线段AC=a；②分别以A、C为圆心，以大于½AC的长为半径作弧，两弧分别交于点B、D；③依次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为所求作的菱形。理据B、D都在AC的垂直平分线上，所以BA=BC、DA=DC，且AC垂直平分BD。追问满足条件的菱形不唯一：只要OB=OD，无论OB取多长都能构成菱形；再给出另一条对角线的长、菱形的边长或一个内角，画出的菱形就唯一了。作图过程示意ABCDOa北师大版·九年级数学上册15/21例2用勾股定理的逆定理判定菱形题目已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=√5，OA=2，OB=1。求证：□ABCD是菱形。证明在△AOB中，∵AB=√5，OA=2，OB=1，∴AB²=5，OA²+OB²=4+1=5，∴AB²=OA²+OB²，∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，即AC⊥BD。∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。方法点拨题干给出三条线段的长，且都落在同一个三角形里，优先考虑勾股定理的逆定理→先证垂直→再用判定定理二。图形示意ABCDOAO=2OB=1AB=√5北师大版·九年级数学上册16/2105五、达标检测与课堂小结完成教材随堂练习与配套练习归纳三种判定方法，布置分层作业北师大版·九年级数学上册17/21达标检测（一）教材P8随堂练习第1题·折纸得菱形你能用折纸的方法得到一个菱形吗？动手试一试，并说明方法的正确性。提示把矩形纸片对折后再对折，沿虚线剪下展开，得到的四边形四条边都相等，由判定定理一可知它是菱形。对折示意虚线为折痕第2题·等宽纸条重叠如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？证明∵等宽纸条的对边分别平行，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。过A作AM⊥DC于M，AN⊥BC于N，∵两张纸条等宽，∴AM=AN，又∠ABN=∠ADM，∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。等宽纸条重叠图ABCDMN北师大版·九年级数学上册18/21达标检测（二）先证平行四边形，再证对角线垂直，两步走判定菱形第3题如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，以AB、BD为邻边作□ABDE，DE交AC于点O，连接EC。求证：四边形ADCE是菱形证明∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，AB∥DE。∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，∴AE=CD。又∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形。∵AB∥DE，∠BAC=90°，∴∠COD=∠BAC=90°，即AC⊥DE，∴□ADCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）方法提示判定菱形两步走——先证平行四边形，再补「对角线垂直」或「邻边相等」ABCDEO北师大版·九年级数学上册19/21达标检测（三）用三角形中位线定理把「AB=CD」转化为四边相等第4题如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点。求证：四边形EGFH是菱形证明∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG=½AB（三角形中位线定理）。同理，在△ABC中FG=½AB，在△ADC中EH=½CD，在△BCD中FH=½CD。∵AB=CD，∴EG=FG=FH=EH，∴四边形EGFH是菱形（四边相等的四边形是菱形）方法提示条件里出现多个中点，先想三角形中位线；本题选「四边相等」判定ABCDEFGH北师大版·九年级数学上册20/21课堂小结与课