圆锥曲线的综合问题突破策略

圆锥曲线的综合问题突破策略圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差法或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即|DA|=|DB|）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等.【题1】椭圆C：的两个焦点为，点在椭圆C上，且.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线过圆的圆心，交椭圆C于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.【题1】解：(1)∴…………1分又∴∴…………3分故…………4分∴椭圆C的方程为…………5分(2)圆的方程可化为：，故圆心所求直线方程为…………7分联立椭圆方程，消去，得…………9分∵、关于对称∴…………12分∴…………14分[点评]点关于点对称的问题，实质是“中点弦”问题，还可以用“点差法”，请同学们尝试体会，并且比较两种解法的特点.【题2】知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【题2】解：设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记中点 则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为[点评]注意AB中点M以及两直线的垂直关系求出“线段AB的垂直平分线”.【题3】设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【题3】解：（1）易知，设P（x，y），则=，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4[点评]本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想，注意定义域.（2）假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为由方程组依题意设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D|∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|[点评]要注意从判别式得到k的范围，对于条件“|F2C|=|F2D|”不要轻易将点F2和C、D的坐标用两点间距离公式表示，否则陷入计算繁杂的类型2：关于定点和定值问题策略【题4】已知点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C.直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB.（1）求曲线C的方程。（2）求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标.【题4】（1）解法1：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等.由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，抛物线方程为.解法2：设动点，则当时化简得：，显然，而，此时曲线不存在.当时化简得：.[点评]解法1巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹，解法2直接利用题目的条件建立等量关系，体现了“分类讨论”的思想方法.（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交于点，①若直线的斜率存在设为k，，，即直线为，所以②若直线L的斜率不存在，则直线OA（或OB）的斜率为1综上所述，直线恒过定点.[点评]直线过定点问题，要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是否经过定点.【题5】已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.（1）求椭圆的方程.（2）已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上.xyOF1··F2M【题5】（1）xyOF1··F2M因在抛物线上,故…①又,则……②,由①②解得,.…………4分椭圆的两个焦点,,点椭圆上,由椭圆定义得……6分∴,又,∴,∴椭圆的方程为.…………8分方法二：由知,设,因在抛物线上,故…①又,则……②,由①②解得,.……………4分而点椭圆上,故有即…③,又,则…④由③④可解得,,∴椭圆的方程为.………………8分（2）设,,由可得:,即…10分由可得:,即故得:……………12分两式相加得………14分又点在圆上，且,所以,即,∴点总在定直线………[点评]关键是向量,的条件“坐标化”，要证点总在某定直线上，则点的坐标满足一个固定的二元一次方程.【题6】已知椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.【题6】解：（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）所以椭圆方程为．．．．．．．4分（2）设直线ＡＥ方程：得，代入得设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，．．．．．．．8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．．．．．．．12分[点评]圆锥曲线中有关定值的问题，关键要利用相关参数将式子的表达式求出，再利用“整体”的思想，消去参数得到定值.【题7】已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.设直线与抛物线C交于两点且（，且为常数）.过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到.求证：①；②的面积为定值.【题7】依题意得：，解得.所以抛物线方程为.由方程组消去得：.（※）依题意可知：.由已知得，.由，得，即，整理得.所以.可以求出中点，所以点，依题意知.又因为方程（※）中判别式，得.所以，由（Ⅱ）可知，所以.又为常数，故的面积为定值.类型3：关于不等式证明、求参数的取值范围问题.【题8】已知点P到（0，），（0，）的距离之和为4，设P的轨迹是C，并交直线于A、B两点.（1）求C的方程;（2）若以AB为直径的圆过O点,求此时的值;（3）若A在第一象限，证明：.【题8】（1）得P的轨迹是椭圆，故,故方程为：（2）依题意设A，B，∵以AB为直径的圆过O点，则∴∴…4分联立：消元得（4+∴…7分∴………………8分=………………9分∴………10分∴………………11分[点评]将“AB为直径的圆过点O”巧妙地转化为，体现“以数论形”的思想.(3)∵=,=∴-=-()=…………12分………………13分∵A点在第一象限，∴又∴-=∴∴………………14分[点评]圆锥曲线与不等式证明的综合，注意作差比较法证明不等式的思路和步骤，利用曲线上点的坐标的范围讨论.【题9】椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.【题9】设椭圆的半焦距为，依题意，椭圆方程为．设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时综上所述．当最大时，面积取最大值．[点评]关于面积的最值问题，先用“弦长公式”求出AB的长，根据面积的表达式的形式和特点，巧妙地利用基本不等式求出最值.【题10】已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【题10】设P(x,y)是曲线上任意一点，那么，满足化简可得到[点评]本题对于过点M（m，0）直线方程的设为x=ty+m是简化计算的一个技巧，对不等式恒成立问题一般利用最值的方法处理.类型4：关于直线与圆锥曲线的综合问题中涉及线段分比的策略这类问题主要是研究过一个定点P作直线与曲线产生两个交点AB，进而研究P分两个交点AB所成的比例关系.往往是两种形式出现，一种是以比例：，一种是向量：，有时候是求直线方程，有时候是求分比的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比与坐标的关系，判断在联立方程时应该消去，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上.【题11】如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.【题11】（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在