2021-2025高考真题汇编 专题5 数列、不等式

专题5数列、不等式考点五年考情（2021-2025）命题趋势知识1等差、等比数列（5年9考）考点01等差等比数列定义的判定2023年新课标Ⅰ卷1.数列选填题的命题呈现出注重基础、强调综合等趋势.2.数列与其他知识的综合考查逐渐增多，要求学生具备较强的知识整合能力，能够将数列知识与函数、不等式等其他知识相结合，解决综合性问题.3.关于不等式的考查，有两方面，一是具有一定综合性的独立考查；二是作为工具，在求最值、范围问题中出现.考点02等差等比数列基本量的计算2025年全国二卷（2道）2025年全国一卷2022年新高考Ⅱ卷2021年新高考Ⅱ卷2023年新课标Ⅰ卷考点03等差等比数列性质的应用2023年新课标Ⅱ卷2024年新课标Ⅱ卷知识2数列求和（5年5考）考点04分组求和法2021年新高考Ⅰ卷2023年新课标Ⅱ卷考点05裂项相消法求和2022年新高考Ⅱ卷考点06错位相减法求和2021年新高考Ⅰ卷2025年全国一卷知识3数列综合应用（5年3考）考点07数列与其他知识的综合2022年新高考Ⅱ卷考点08数列新定义2021年新高考Ⅱ卷2024年新课标Ⅰ卷知识4不等式（5年2考）考点09由已知条件判断所给不等式是否正确2022年新高考Ⅱ卷考点10分式不等式2025年全国二卷考点01等差等比数列定义的判定1．[2023年新课标Ⅰ卷]记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点02等差等比数列基本量的计算2．[2025年全国二卷]记为等差数列的前n项和.若，，则()A. B. C. D.3．[2025年全国二卷]（多选）记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则()A. B. C. D.4．[2025年全国一卷]若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于___________.5．[2022年新高考Ⅱ卷]已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）证明：；（2）求集合中元素的个数.6．[2021年新高考Ⅱ卷]记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.7．[2023年新课标Ⅰ卷]设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求d.考点03等差等比数列性质的应用8．[2023年新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前n项和，若，，则()A.120 B.85 C.-85 D.-1209．[2024年新课标Ⅱ卷]记为等差数列的前n项和.若，，则__________.考点04分组求和法10．[2021年新高考Ⅰ卷]已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.11．[2023年新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.（1）求的通项公式；（2）证明：当时，.考点05裂项相消法求和12．[2022年新高考Ⅱ卷]记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.考点06错位相减法求和13．[2021年新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么__________.14．[2025年全国一卷]已知数列中，，.（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数m，设函数，求.考点07数列与其他知识的综合15．[2022年新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，.已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则()A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9考点08数列新定义16．[2021年新高考Ⅱ卷]（多选）设正整数，其中，记，则()A. B.C. D.17.[2024年新课标Ⅰ卷]设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分数列.（1）写出所有的，，使得数列，，…，是可分数列；（2）当时，证明：数列，，…，是可分数列；（3）从1，2，…，中一次任取两个数i和，记数列，，…，是可分数列的概率为，证明：.考点9由已知条件判断所给不等式是否正确18．[2022年新高考Ⅱ卷]（多选）若x，y满足，则()A. B. C. D.考点10分式不等式19．[2025年全国二卷]不等式的解集是()A. B. C. D.

参考答案与解析考点01等差等比数列定义的判定1．答案：C解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.考点02等差等比数列基本量的计算2．答案：B解析：根据得，根据得，所以的公差，所以，所以.3．答案：AD解析：A（√）根据，得，即，因为，所以.错误项分析：B（×）.错误项分析：C（×），所以.D（√），，所以.4．答案：2解析：解法一：设等比数列为，其公比为q，前n项和为，因为等比数列的各项均为正数，所以，又，，所以.由得①，由得②，得，即，所以，又，所以.解法二：设等比数列为，其公比为q，前n项和为，因为等比数列的各项均为正数，所以，因为，，所以，因为，，，…成等比数列，且公比为，所以，又，所以.5．答案：（1）证明见解析（2）9解析：（1）证明：设等差数列的公差为d.由，知，所以.由，知，所以，即.故.（2）由（1）知.由知，即，即.因为，所以，解得.故集合中元素的个数为9.6．答案：（1）设等差数列的公差为，则解得所以.（2）结合（1）可知，，则等价于，解得或，又，所以，故使成立的n的最小值为7.7．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以，所以，.因为，所以，解得或，因为，所以.所以的通项公式为.（2）因为，且为等差数列，所以，即，所以，所以，解得或.①当时，，所以，，.因为，所以，即，解得或（舍去）.②当时，，所以，，.因为，所以，即，解得（舍去）或（舍去）.综上，.考点03等差等比数列性质的应用8．答案：C解析：解法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.解法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.9．答案：95解析：法一：设的公差为d，由，，解得，，则.法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.考点04分组求和法10．答案：（1）因为2n为偶数，所以，，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，，.（2）当n为奇数时，，所以的前20项和为.由（1）可知，，所以的前20项和为.11．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）设等差数列的公差为d.因为，所以，，.因为，，所以，整理得，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以.当n为奇数时，.当时，，所以.当n为偶数时，.当时，，所以.综上可知，当时，.考点05裂项相消法求和12．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）法一：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以.因为当时，，所以，所以，整理得，所以，所以，又也满足上式，所以，则，所以，又也满足上式，所以.法二：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.因为当时，，所以，所以，所以，所以，又也满足上式，所以.（2）因为，所以，所以.考点06错位相减法求和13．答案：5；解析：记对折n次可以得到不同规格图形的种数为数列，依题意有，，对折3次，可以得到，，，四种规格的图形，即；对折4次，可以得到，，，，五种规格的图形，即.于是数列的通项公式为.记对折n次可以得到不同规格图形的面积之和为，依题意有，，，，于是数列的通项公式为.则，所以，两式作差得，.所以.14．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）两边同时乘，得，又，所以是首项为3，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知数列的通项公式为，又，故，所以.两式相减，得，所以.考点07数列与其他知识的综合15．答案：D解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点，则.因为，，成公差为0.1的等差数列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以.所以，解得，故选D.考点08数列新定义16．答案：ACD解析：本题考查对新定义的理解.，假设，，…，，中有m个1（），则.又，则，，…，，中也有m个1，则，故A项正确；当时，，，所以，又，所以，故B项错误；，，由A知，，所以，所以，故C项正确；因为，所以，，…，，中有n个1，所以，故D项正确.17.答案：（1），，（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（2）证明：当时，删去，，其余项可分为以下3组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，当时，删去，，其余项可分为以下m组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，，，，为第4组，，，，为第5组，……，，，，为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列，，…，是可分数列.（3）证明：易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.当时，删去，，其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列1，2，…，是可分数列，可分为，…，，…，，…，.p，q的可能取值方法数为.易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.当时，删去，，将与从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列.考虑，，，…，，是否可分