2015微积分模考卷参考答案

2015微积分模考卷参考答案考试时间：120分钟满分：100分一、单选题1.已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。A.3x^2-3B.3x^2-1C.3x^2+3D.3x^22.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则定积分∫(0to1)f'(x)dx的值为：A.1B.0C.-1D.23.设函数f(x)=e^x-x，求f(x)在x=0处的泰勒展开式。A.e^x-x+x^3/3!+...B.e^x-x+x^2/2!+...C.e^x-x+x^2/3!+...D.e^x-x+x^3/2!+...4.若函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的最大值为1，则f(x)在该区间上的最小值为：A.-1B.0C.1D.π/25.已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的极值点。A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=-26.设函数f(x)=ln(x)，求f(x)在x=1处的切线方程。A.y=xB.y=1C.y=0D.y=1/x7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的拐点。A.(1,0)B.(2,3)C.(0,-1)D.(3,4)8.设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的导数f'(x)。A.2x-4B.2x-3C.2x+4D.2x+39.已知函数f(x)=e^x，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。A.1B.0C.eD.e^010.若函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)的导数f'(x)。A.3x^2-6x+9B.3x^2-12x+9C.3x^2-12x-9D.3x^2-6x-9二、多选题1.若函数f(x)=x^3-3x^2+4x+1在x=1处的导数等于多少？A.0B.1C.2D.3E.42.以下哪些是可导函数？A.y=x^2B.y=|x|C.y=1/xD.y=e^xE.y=sqrt(x)3.计算定积分∫(0toπ)sin(x)dx的值。A.0B.2C.-2D.πE.-π4.以下哪些是级数收敛的充分条件？A.收敛半径R>1B.收敛半径R<1C.收敛半径R=1D.绝对收敛E.条件收敛5.以下哪些是微积分基本定理的内容？A.定积分可以通过原函数计算得到B.微分可以通过反函数计算得到C.微分和积分是互逆运算D.定积分可以通过极限计算得到E.微分和积分有相同的变量三、判断题1.在微积分中，导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。（）2.不定积分可以唯一确定一个原函数。（）3.定积分可以表示曲线与x轴所围成的面积。（）4.函数的可导性与函数的连续性是等价的。（）5.极限的概念可以用来研究函数的局部性质。（）四、填空题1.已知函数f(x)=x^2-3x+2，则f'(x)=______；f''(x)=______；f'(2)=______；f''(2)=______。2.设函数f(x)=e^x，则f'(x)=______；f''(x)=______；f'''(x)=______。3.若函数f(x)=sin(x)，则f'(π)=______；f''(π)=______。4.已知定积分∫(0to1)x^2dx=______；根据积分基本定理，f(x)=______；f'(x)=______。5.若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=______；f''(x)=______。五、计算题1.某公司2014年的销售额为1000万元，预计2015年销售额将增长10%，同时成本也将增长5%。请问2015年该公司的预期利润是多少？2.一个函数f(x)=x^3-6x^2+9x在区间[0,4]上连续，求f(x)在此区间上的最大值和最小值。3.已知某城市2015年的人口为300万，预计每年人口增长率不变，如果2020年该城市人口达到500万，求每年的人口增长率。4.求积分∫(e^x-3x^2)dx在区间[0,1]上的值。5.已知函数f(x)=x^2+4x+5，求f(x)的极值点。参考答案单选题1.A对f(x)求导得到f'(x)=3x^2-3。2.A根据微积分基本定理，定积分∫(0to1)f'(x)dx=f(1)-f(0)=1-0=1。3.B泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+...，计算得到f(0)=1,f'(0)=1,f''(0)=1，所以展开式为e^x-x+x^2/2!+...。4.Asin(x)在[0,π]上的最大值为1，最小值为-1。5.Bf'(x)=2x+2，令f'(x)=0，得x=-1，f''(x)=2，x=-1时f''(x)>0，所以x=-1是极小值点，x=0是极大值点。6.Df'(x)=1/x，所以f'(1)=1，切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1)，即y=1/x。7.Bf''(x)=6x-6，令f''(x)=0，得x=1，f''(1)=0，f''(2)=6，f''(3)=6，所以拐点为(2,3)。8.A对f(x)求导得到f'(x)=2x-4。9.Af'(x)=e^x，所以f'(0)=e^0=1。10.B对f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+9。多选题1.Bf'(x)=3x^2-6x+4，将x=1代入得到f'(1)=1.2.ABDEy=|x|在x=0不可导，其余函数均为可导函数。3.B∫(0toπ)sin(x)dx=-cos(x)|(0toπ)=-cos(π)-(-cos(0))=2.4.AD收敛半径R>1时，级数绝对收敛；绝对收敛是收敛的充分条件。5.ACD微积分基本定理包括定积分可以通过原函数计算得到，微分和积分是互逆运算，定积分可以通过极限计算得到。判断题1.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。2.错误解析：本题答案为错误，考查相关知识点。3.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。4.错误解析：本题答案为错误，考查相关知识点。5.正确解析：本题答案为正确，考查相关知识点。填空题1.2x-3；2；-1；0根据导数的定义和求导法则，对多项式函数求导，得到一阶导数和二阶导数，然后代入x=2计算得到结果。2.e^x；e^x；e^x指数函数的导数仍然是指数函数，并且其导数保持不变，所以依次求导得到结果。3.0；-1根据三角函数的导数公式，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数，代入π计算得到结果。4.1/3；x^3/3；x^2根据定积分的计算公式，计算给定区间上的积分，然后根据积分基本定理求出原函数，再求导得到导函数。5.1/x；-1/x^2对数函数的导数是对数函数的系数的倒数，再对一阶导数求导得到二阶导数，代入x计算得到结果。计算题1.2015年公司的预期利润为95万元。计算2015年的销售额：1000万元×1.10=1100万元。然后，计算2015年的成本：1000万元×1.05=1050万元。利润=销售额-成本=1100万元-1050万元=50万元。2.最大值为9，最小值为0。求导数f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0解得x=1或x=3。接着，计算f(0)=0，f(1)=3，f(3)=9，f(4)=0。比较这些值，可知最大值为9，最小值为0。3.每年的人口增长率为15%。使用复利公式计算增长率，设每年增长率为r，则300万×(1+r)^5=500万，解得r≈0.15。4.积分的值为e-2。分别积分e^x和-3