初三几何3角平分线辅助线.基础(2014-2015)教师资料

1、 2014年中考解决方案角平分线辅助线学生姓名：上课时间：2013.角平分线辅助线基础自检自查必考点知识点一 角平分线性质（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上（3）天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二 角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题 秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形 秘籍四：过角平分线上的点

2、作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。 总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三 角平分线模型模型一 两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为 推理方法：如图，可得，化简可得类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为推理方法：如图，可得，化简可得类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为推理方法：如图，化简可得模型二 对角互补模型条件：，AOB+DCE =180结论：难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）中考满

3、分必做题一、往角两边截取相等的线段考点说明：解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题把两条折线段“拉直”成线段，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将长线段拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 常用方法分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例1】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【答案】理由是：在上截取，连结利用证得，利用证得，【练1】如图，在中，、分别是、的角平分线，且，则的度数为_【答案】【练

4、2】如图，在中，、分别平分、，且与的交点为求证：【答案】在上截取，连结，可推出，进而证明，有,进而得【例2】 如图，在四边形中，的平分线交于求证：当是的平分线时，有 【答案】在上截取，使，连接，则可得，于是由，知，而，从而注意到平分公用，于是，由角边角公理的推论，知，从而故【练1】如图所示，平行于，那么_【解析】过做交于F，使，易证；则【答案】6【练2】如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系【答案】 ； 在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，【例3】 已知等腰，的平分线交于，则【答案】（利用角平分作对称模型）如图，延长到，使，在上截取，为公共边，故，故

5、，故，注：学习程度好的，另外补充两种解法解法一（截长法）：如图，在上截取，连接，过作，交于，于是，又，故显然是等腰梯形，又，解法二（补短法）：如图，延长到，使延长到，使连接、，公共，又，而又公共，【练1】如图所示，在中，是的平分线，延长至，使求证：【答案】在上取一点，使得易证得，又，平分， 【练2】已知等腰直角中，是角平分线，交延长线于点求证：【答案】延长、交于点因为，所以，所以因为等腰直角中，且，所以，所以因为是角平分线，且，是公共边，所以所以，即【练3】如图，在直角中，作交的延长线于，求证：平分 【答案】方法同上一题【例4】 如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 【答案】解法一（补短）：

6、如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，故.从而有，故.所以，.解法二（截长）：在上取点，使得，则由题意可知.在和中，则，从而，进而有，.注意到，则：，故.【练1】如图，在中，的平分线交与求证：【答案】方法一：在上取一点，使得连结在和中，又，方法二：在的延长线上取一点使得，连结在和中，又，方法三：延长到点使得，连结则有又，又， 方法四：如图，作平分交、于、点延长到，使，连结，又即且，同理，【练2】在中，平分，求的值 【答案】在上截取，连结根据证得，结合已知可得，【练3】如图，中，平分交于点求证：【答案】方法一：在上截取点使，连结平分，在与中， ， 又，方法二：如图，延长到

7、，使，连结，且，又【练4】如图，在中，点在上，平分，若，则的长为_ 【解析】在上截取，连接， ， ， 【例5】 如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 【解析】，理由如下如图所示，在的延长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 【练1】在中，是的平分线是上任意一点求证：【答案】在上截取，连结，根据证得，又中，【例6】 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.【答案】显然，要证题设的不等式，应当把，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.以为对

8、称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等边三角形，.由于两点之间以直线段为最短，所以，即.【练1】设是凸四边形的边的中点，求证：.【答案】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，则，且，.而，则，故.中考真题拔高【例7】 如图1，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量

9、关系；（2）如图3，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 图一 图二 图三（2006年北京中考试题）【解析】略【例8】 已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON=180.（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；（3）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.（2011年昌平一模） 【解析】（1）在OB上截取OD=OA，

10、连接PD，OP平分MON，MOP=NOP又OA=OD，OP=OP，AOPDOPPA=PD，1=2APB+MON=180，1+3=1802+4=180，3=4PD=PBPA=PB（2）PA=PB，3=41+2+APB=180，且3+4+APB=180，1+2=3+42=45=5，PBCPOB （3）作BEOP交OP于E，AOB=600，且OP平分MON， 1=2=30AOB+APB=180，APB=120PA=PB，5=6=303+4=7，3+4=7=(18030)2=75在RtOBE中，3=600，OB=24=150，OE=，BE=14+5=450，在RtBPE中，EP=BE=1OP= 【例9】 已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分BAD，B和D都是直角.（1）求证：BC=CD.（2）若将原题中的已知条件“B和D都是直角”放宽为“B和D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？证明你的结论.（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制BAD=60，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由.（11年燕山二模）【答案】AC平分BAD，BAC=DAC.又D =B=90，AC=AC，ABCADC. BC=CD. 一定相等证明：如图，不妨设B为锐角，作CEAB于E，则点E必在线段AB上B和D互为补角，D是钝角，作CFAD于F，