15 比例线段2学生2016春季 初二数学培优进度

1、比例线段（比例线段（2 2）1/5 第十五讲 比例线段（2） 比例中项：如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项 即：如果:a bb c（或:b ac b） ，那么 b 叫做 a 和 c 的比例中项，这时 2 bac 黄金分割： 线段上一点把它分成两条线段，其中较长的线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割线段 的方法叫做黄金分割 如下图，点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB（APPB）两段，且 AP 是 PB 和 AB 的比例中项， 那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点 我们有公式： （1） 51 2 较长全（2） 35 2 较短

2、全 也即： （1） 51 2 PAAB （2） 35 2 PBAB 【注】 51 2 称为黄金分割数，黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值 0618 任 意一条线段的黄金分割点都有两个 黄金三角形：顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形 三角形重心：三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心 重心性质定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 比例线段（比例线段（2 2）2/5 【例题 1】（1）长为 4cm 和 9cm 的线段的比例中项是 6cm ； （2）6 和 8 的比例中项是 【例题 2】已知线段, ,a b c满足:1:2a b ，且线

3、段 b 是线段 a，c 的比例中项，则:a c= 【例题 3】已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，被分得的较长的线段 PB=4cm，那么较短的线段 PA=，AB= 【例题 4】已知点 P 黄金分割线段 AB，且 AB=1，则 PA= 【例题 5】RtABC 的重心为 G，且斜边 AB=15cm，则 CG 的长为 【例题 6】ABC 的重心为 G，过点 G 作 BC 的平行线交 AB 于 D若边 BC 的长为 9cm，则 DG= 【例题 7】如图，ACB=90，CDAB 于 D，中线 BG、CH 相交于点 P，PQAB 于 Q， 若 AB=5，AC=4，求 PQ 的长 解： 比例线段（比例线

4、段（2 2）3/5 【例题 8】线段 AB 长为2 3，C 是线段 AB 上一不与端点重合的动点，分别以 AC、BC 为边向 AB 的两侧各作一个等边三角形，如图所示记等边APC 的重心为 1 G，记等边BQC 的重心为 2 G 试证明：无论 C 点如何运动，线段 12 GG的长度始终保持不变 【例题 9】如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 P 是BDC 的重心，点 Q 是EBC 的 重心，联接 PQ已知 BC=12cm，试求 PQ 的长 比例线段（比例线段（2 2）4/5 【例题 10】 你会作出线段 AB 的黄金分割点吗？这里告诉你一个作图的方法， 但请你来说明这个作法 的正确性 （1）已知线段 AB，作 CBAB，使 CB= 1 2 AB； （2）联结 AC，在线段 CA 上取 CD=CB； （3）以 A 为圆心、AD 为半径画弧，交线段 AB 于点 P，那么 P 就是线段 AB 的一个黄金分割点 比例线段（比例线段（2 2）5/5 F E C D B A 【作业 1】如图，在ABC 中， 1 2 AF FB ， 3 4 AD DC ，BD、CF 交于 E，求 FE EC 的值 【作业 2】如图直角梯形 ABCD 中，ABDC，C=90，AB=6，CD=3，AD=5， 点 P 在 AD 上，设