10 勾股定理教师2015秋季 初二数学培优经典进度一

1、 1 / 7 第十讲 勾股定理 1. 定理：在直角三角形中，斜边直角边 2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直 角三角形 4. 如果正整数 a、b、c 满足 222 cba ，那么 a、b、c 叫做勾股数组 常见的有： 3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 9、40、41 以勾股数组中的三个数分别为三边长的三角形是直角三角形 2 / 7 解： 000 175 ,245 ,30c 作BEAC于E 则 0 4590 0 3245 设EAEBx 【例题1】 求

2、图中 a、b、c 的长 3a 7b 3 3c 【例题2】 在ABC 中，AB=10，BC=16，B=60 ，求 BC 边上的高，并求 AC 边的长 解： 22 115 3)AC 121 75 19614 【例题3】 如果等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，求底边上的高 解： （1）若底是 5 时，腰为 6 （2）若底是 6 时，腰为 5 2 2 5 2 5177119 6 2222 BE AE 【例题4】 如图，船 A 的正东方向有一艘船 B，两船相距 20 海里，在 A 点观察到北偏东 45 方向有 一座灯塔 C，在 B 船观察到灯塔在它的北偏东 15 方向，求 A、B 两船此时离灯塔的距

3、离各为多少 海里？ 22 3 534 BY AY 3 / 7 则 222 20 xx， 102x 10 2AEBE，则220 2BCBE， 22 10 6CEBCBE ACAECE10 210 6 答：AB、两船此时需灯塔的距离各为(10 210 6)海里，20 2海里 【例题5】 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上， 如果 CD 与地面成 45 角，A=60 ，CD=4 米，BC= 4 62 2米，求电线杆 AB 的长 解：延长ADBC、交于Y，作DEBY于E 0 45 ,4DCYDC 由勾股定理，得2 2DECE， 00 60 ,30A

4、ABBYY， 2,4 2DYDE 由勾股定理，得， 2 6EY ，6 62BYBCCEEYAYAB， 由勾股定理，得 2222 336 6AYABBYAB， 2 72,0,6 2ABABAB（米） 【例题6】 如图，在ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是 BC 边上一点，且 ADAC，求 BD 的长 解：作AEBC于E ,3216ABAC BCBECE， 设BDx，则16,32DEx CDx，在Rt ABE中， 22 12AEABBE，由勾股定理： 222 ADAEDE， 222 ADCDAC， 2222 12(16)(32)20 xx， 解得：7,7xBD 4 / 7 【例题7】

5、 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=120 ；点 E 是 BC 的中点，EFAB 于点 F； 点 D 在 BC 边上，ADAC，求 EF:AD 的值 解： 0 ,120ABACBAC 0 30BC 设ADx，ADAC 00 9022120DACCDADxBAC， 0 130 且 0 30B BDADx，则3BCx E是BC的中点， 13 22 BEBCx 0 133 290: 244 EFABEFBExEF AD， 【例题8】 已知长方形 ABCD 中，AB=4，BC=3，折叠长方形 ABCD，使 AD 与对角线 BD 重合，求 折痕 DE 的长； 解：在长方形ABCD中， 3AD

6、BC 在Rt DAB中， 22 5BDABAD 设AEx， DAE和DEF重合 0 3, 190DFDAEFAExA 则 0 4,290 ,2EBxBF 由勾股定理， 222 BEEFBF， 222 (4)2xx，解得 3 2 x ， 22 33 5 22 AEDEAEAD， C ED B F A 5 / 7 【例题9】 已知，在ABC 中，AB=AC，D 是底边 BC 上任意一点，连结 AD， 求证：。DCBDADAB 22 解：作AEBC于E ABACBECE， 由勾股定理 222222 ABAEBEADAEDE， 2222 ABADBEDE ()()()BEDE BEDECEDEBDBD

7、 DC， 【例题10】 长方形 A BCD 中，AB=8，BC=6，若将ABC 沿 AC 对折过来，则 B 点落到 E 处，AE 交 CD 于 F，求重叠部分的面积 解：在长方形ABCD中， 0 90 ,/ /,6BABCD ADBC 由勾股定理得： 22 10ACABBC 13 ，又ABC和ACE重合 0 6,90CEBCEB ，8, 12AEAB ，23CFAF， 设CFx，则,8AFx EFx ，由勾股定理， 222222 (8)6CFEFCExx， 8(28)36 4(4)9xx， 25 425 4 xx， 251 42 AFC CFSCF AD， ， 75 4 【例题11】 RTAB

8、C 中，C=90 ，中线 AD 的长为 7，中线 BE 的长为 4，求 AB 的长 解：ADBE、是ABC的中线 CDBDAECE，设,CDBDx AECEy 由勾股定理 222 222 (2 )4(1) (2 )7(2) xy xy （1）+（2） 22 5()65xy， 22 13xy， 2222 4()2 13ABACBCxy y x E D CB A C ED B A 6 / 7 【例题12】 如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，10AB ，6BD ，8AD ，17AC ，求ABC 的 面积 答案：90ADB，15CD ， 1 21 884 2 ABC S 【例题13】 如图，A

9、D 是ABC 的高，且 2 ADBD DC试问：ABC 是直角三角形吗？说说你的 理由 答案： 2222222 ()22BCBDCDBDCDBD CDBDCDAD 222222 ()()BDADCDADABAC，ABC 是直角三角形 【例题14】 已知 a、 b、 c 为ABC 的三边长， 且满足 222 338102426abcabc， 试判断ABC 的形状 答案： 222 (5)(12)(13)0abc，5a ，12b ，13c ，ABC 是直角三角形 【例题15】 若ABC 的三边 a、b、c 满足 222 506810abcabc ，则ABC 是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形

10、C、锐角三角形 D、钝角三角形 答案：3a ，4b ，5c ，B 7 / 7 【作业1】 如果一个直角三角形三边的长分别为 2、4、a，则 a 的长为（ ） A52 B32 C32或52 D不确定 【作业2】 ABC 中，AB=25， AC=30 ，BC 边上的高 AD 为 24，试求第三边 BC 的长 【作业3】 测得一块三角形稻田的三边长分别为 14m、48m、50m，则这块稻田的面积为 _m2 答案：336 【作业4】 如图 1，一架梯子 AB 长为 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 处的 距离为 1.5 米梯子下滑后停在 DE 的位置上，如图 2，测得0.5BD 米，试问梯子顶端 A 也恰好 是下落了 0.5 米吗？说说你的理由 答案：2AC ，2CD ，2.5DEAB， 1.5CE ，0.5AE ，梯子顶端 A 也恰好是下落了0.