一元微积分A：函数的连续性与间断点 初等函数连续性_第1页
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1、一、函数的连续性的概念,二、函数的间断点,第七节函数的连续性,一、函数的连续性(continuity),1.函数的增量(increment),注意：,2.连续的定义,即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.,例1,证,由定义2知,例2,证,3.单侧连续,定理,例3,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点(pointsofdiscontinuity),1.可去间断点(aremovablediscontinuity),例4,解,

2、注意可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例4中,例5,解,2.跳跃间断点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,左右极限相等，则为可去间断点；,左右极限不相等，则为跳跃间断点,例5中的间断点为跳跃间断点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.,这时也称其为振荡间断点,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,例8,解,第八节初等函数的连续性,定理1,例如,1.连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2.反函数与复合函数的连续性,定理,例9,定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,.初等函数的连续性,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,注意,例如,定义域,连续区间,例10,例11,解,解,注意2

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