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1、课程编号：A 北京理工大学2007-2008学年第一学期 2007级微积分A期中试卷班级 学号 姓名 成绩 一、 填空（每小题3分，共30分）1设. 当时，是的阶无穷小，其中 5 .2设函数由方程确定， 则 1 .3曲线的斜渐近线为 .4设在点处连续且可导，则 2 ， 0 .5若存在，则.6若曲线与在点处相切，则 -4 ， 2 .7已知在处可导，且则 0 , .8数列极限.9已知方程有实根，则应满足的条件是: .10设 则.二、（10分）设，求，并求曲线在参数对应点处的曲率. 解： .分 .分 时， ， .分 曲率为： .分三、（10分）设，由拉格朗日中值定理, 得：， 使得 . 求极限的值.

2、 解：由已知得： .分 .分四、（10分） 证明不等式：当时， 证明：设，则 .分 .分所以当时，单增，从而即 .分五、（10分）设函数在处有极值.（1）试确定系数； （2）求出的所有极值及单调区间；（3）求曲线的凹凸区间和拐点. 解：（1）由已知条件知： 解得： .分（2），令得驻点 时，有 时，有 时， 知为极大值点，为极小值点；极大值为极小值为 .分（3），令得， 时，曲线为凸弧；时，曲线为凹弧. 拐点为（0，0）. .分六、（10分）设函数，试求的表达式，并讨论在处的连续性，若是间断点，请指出间断点的类型. 解：当时， .分 当时， 所以 .分 所以在处连续。 .分七、（10分）某轮船航行一昼夜的耗费（单位：元）为 ，其中是正的常数，是船航行的速度（单位：）. 利用你学过的微积分知识，求取何值时可使得船航行一公里时的平均耗费最小. 解：船航行一公里时的平均耗费函数为：，.分 ，令得唯一驻点，.分 又时，时， 所以在处取得极小值，又因为驻点唯一，所以在处取得最小值。 故时可使得船航行一公里时的平均耗费最小。最小值.分八、（10分）设在上二阶可导，且 求证：存在 使得 证明：做辅助函数；， .分 由已知条件知，在0，1上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知：至少存在一点使

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