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1、数值分析思考题41、 Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗?工作量为多少?平方根方法的工作量为多少?答:Gauss 消去法所需的加,减,乘,除运算的次数为:由于Gauss消去法与LU三角分解法是等价的,因此,LU三角分解法的工作量也是,两者的工作量相同。平方根法是A为实对称正定矩阵时,三角分解法的变形。其工作量约为LU三角分解法的一半,该算法的计算量为13 n3 2、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功?选主元的目的是什么?分别用列主元和全主元Gauss消去法求解下列方程组:答:(1)条件(三角分解的一个充分条件):如果的顺序主子式均非奇异,则存在唯一的单位
2、下三角阵和上三角阵,满足。 并且,在三角分解过程中的除法运算要求分母不能太小,否则将可能产生不稳定的情况。 (2).选主元的目的就是为了完成消元并且避免不稳定情况的发生。3、用平方根方法(Cholesky分解法)求解下列方程组,并用紧凑格式存储。答:系数矩阵A=l21=a21/l11l32=(a32-l31ll21)/l22l33=a33-l312-l322L= LT = b=-4 3 10T求解方程Ly=b y=(-1 2 6)T求解方程组LTx=y 求得x=(-944 2) T 4、已知线性方程组(1)求系数矩阵的逆和条件数;(2)若方程组右端有微小扰动,不用求解方程组,试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。解:(1)得到的结果:系数矩阵的逆,条件数为:10000。(2)线性方程组其解为: 若方程组右端有扰动,则原
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